Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2}) x}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} (\sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2}) x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2} \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} \sqrt{5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Etapa 4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{(\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Etapa 5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Etapa 6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x - lim_{x \to 8} 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Etapa 8

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Etapa 9

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Etapa 10

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Etapa 11

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Etapa 11.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Etapa 11.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Etapa 11.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Multiplique $5$ por $8$ .

$\frac{(\sqrt{40} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Etapa 12.1.2

Reescreva $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1

Fatore $4$ de $40$ .

$\frac{(\sqrt{4 (10)} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Etapa 12.1.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(\sqrt{2^{2} \cdot 10} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Etapa 12.1.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Etapa 12.1.4

Multiplique $5$ por $8$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{40 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Etapa 12.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{40 - 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Etapa 12.1.6

Subtraia $2$ de $40$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Etapa 12.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{4 (2)}}$

Etapa 12.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Etapa 12.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 12.3

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Fatore $2$ de $(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8$ .

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 12.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 (\sqrt{2})}$

Etapa 12.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 12.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4}{\sqrt{2}}$

Etapa 12.4

Mova $4$ para a esquerda de $2 \sqrt{10} - \sqrt{38}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$

Etapa 12.5

Multiplique $\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 12.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.6.1

Multiplique $\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 12.6.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 12.6.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 12.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 12.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 12.6.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 12.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 12.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 12.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 12.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 12.6.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2}$

Etapa 12.7

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.7.1

Fatore $2$ de $4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2}$

Etapa 12.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 12.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{1}$

Etapa 12.7.2.4

Divida $2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$ por $1$ .

$2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$

Etapa 12.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (2 \sqrt{10}) + 2 (- \sqrt{38})) \sqrt{2}$

Etapa 12.9

Multiplique $2$ por $2$ .

$(4 \sqrt{10} + 2 (- \sqrt{38})) \sqrt{2}$

Etapa 12.10

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(4 \sqrt{10} - 2 \sqrt{38}) \sqrt{2}$

Etapa 12.11

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sqrt{10} \sqrt{2} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Etapa 12.12

Multiplique $4 \sqrt{10} \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.12.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$4 \sqrt{2 \cdot 10} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Etapa 12.12.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Etapa 12.13

Multiplique $- 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.13.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2 \cdot 38}$

Etapa 12.13.2

Multiplique $2$ por $38$ .

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{76}$

Etapa 12.14

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.14.1

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.14.1.1

Fatore $4$ de $20$ .

$4 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{76}$

Etapa 12.14.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{76}$

Etapa 12.14.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{76}$

Etapa 12.14.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{76}$

Etapa 12.14.4

Reescreva $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.14.4.1

Fatore $4$ de $76$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{4 (19)}$

Etapa 12.14.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 19}$

Etapa 12.14.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$8 \sqrt{5} - 2 (2 \sqrt{19})$

Etapa 12.14.6

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{19}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{19}$

Forma decimal:

$0.45294804 \dots$