Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 1}}$

Etapa 2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 1}}$

Etapa 3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 1}}$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 1}}$

Etapa 5

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 1}}$

Etapa 6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 1}}$

Etapa 7

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{8^{2}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 1}}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{8^{2}}{\sqrt{8^{4} + 1}}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{64}{\sqrt{8^{4} + 1}}$

Etapa 8.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$\frac{64}{\sqrt{4096 + 1}}$

Etapa 8.2.2

Some $4096$ e $1$ .

$\frac{64}{\sqrt{4097}}$

Etapa 8.3

Multiplique $\frac{64}{\sqrt{4097}}$ por $\frac{\sqrt{4097}}{\sqrt{4097}}$ .

$\frac{64}{\sqrt{4097}} \cdot \frac{\sqrt{4097}}{\sqrt{4097}}$

Etapa 8.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 8.4.1

Multiplique $\frac{64}{\sqrt{4097}}$ por $\frac{\sqrt{4097}}{\sqrt{4097}}$ .

$\frac{64 \sqrt{4097}}{\sqrt{4097} \sqrt{4097}}$

Etapa 8.4.2

Eleve $\sqrt{4097}$ à potência de $1$ .

$\frac{64 \sqrt{4097}}{{\sqrt{4097}}^{1} \sqrt{4097}}$

Etapa 8.4.3

Eleve $\sqrt{4097}$ à potência de $1$ .

$\frac{64 \sqrt{4097}}{{\sqrt{4097}}^{1} {\sqrt{4097}}^{1}}$

Etapa 8.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{64 \sqrt{4097}}{{\sqrt{4097}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{64 \sqrt{4097}}{{\sqrt{4097}}^{2}}$

Etapa 8.4.6

Reescreva ${\sqrt{4097}}^{2}$ como $4097$ .

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Etapa 8.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4097}$ como $4097^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{64 \sqrt{4097}}{{(4097^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 \sqrt{4097}}{4097^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{64 \sqrt{4097}}{4097^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{64 \sqrt{4097}}{4097^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{64 \sqrt{4097}}{4097^{1}}$

Etapa 8.4.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{64 \sqrt{4097}}{4097}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{64 \sqrt{4097}}{4097}$

Forma decimal:

$0.99987795 \dots$