Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{32 x^{4} - x^{3} + x + 12}{8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 32 x^{4} - x^{3} + x + 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 32 x^{4} - lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Etapa 3

Mova o termo $32$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{32 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Etapa 4

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Etapa 5

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Etapa 6

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + lim_{x \to 8} 2 x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Etapa 8

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 2 x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Etapa 9

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 2 x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Etapa 10

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Etapa 11

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Etapa 12

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Etapa 13

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}$

Etapa 14

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Etapa 15

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 15.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Etapa 15.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Etapa 15.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Etapa 15.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Etapa 15.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Etapa 15.6

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Etapa 15.7

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16

Simplifique a resposta.

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Etapa 16.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.1.1

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$\frac{32 \cdot 4096 - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16.1.2

Multiplique $32$ por $4096$ .

$\frac{131072 - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16.1.3

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{131072 - 1 \cdot 512 + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16.1.4

Multiplique $- 1$ por $512$ .

$\frac{131072 - 512 + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16.1.5

Subtraia $512$ de $131072$ .

$\frac{130560 + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16.1.6

Some $130560$ e $8$ .

$\frac{130568 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16.1.7

Some $130568$ e $12$ .

$\frac{130580}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 16.2.1

Multiplique $8$ por $8^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 16.2.1.1

Multiplique $8$ por $8^{4}$ .

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Etapa 16.2.1.1.1

Eleve $8$ à potência de $1$ .

$\frac{130580}{8^{1} \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{130580}{8^{1 + 4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16.2.1.2

Some $1$ e $4$ .

$\frac{130580}{8^{5} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16.2.2

Eleve $8$ à potência de $5$ .

$\frac{130580}{32768 + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16.2.3

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{130580}{32768 + 2 \cdot 512 + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16.2.4

Multiplique $2$ por $512$ .

$\frac{130580}{32768 + 1024 + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16.2.5

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{130580}{32768 + 1024 + 64 + 5 \cdot 8 + 2}$

Etapa 16.2.6

Multiplique $5$ por $8$ .

$\frac{130580}{32768 + 1024 + 64 + 40 + 2}$

Etapa 16.2.7

Some $32768$ e $1024$ .

$\frac{130580}{33792 + 64 + 40 + 2}$

Etapa 16.2.8

Some $33792$ e $64$ .

$\frac{130580}{33856 + 40 + 2}$

Etapa 16.2.9

Some $33856$ e $40$ .

$\frac{130580}{33896 + 2}$

Etapa 16.2.10

Some $33896$ e $2$ .

$\frac{130580}{33898}$

Etapa 16.3

Cancele o fator comum de $130580$ e $33898$ .

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Etapa 16.3.1

Fatore $2$ de $130580$ .

$\frac{2 (65290)}{33898}$

Etapa 16.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.3.2.1

Fatore $2$ de $33898$ .

$\frac{2 \cdot 65290}{2 \cdot 16949}$

Etapa 16.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 65290}{2 \cdot 16949}$

Etapa 16.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{65290}{16949}$

Etapa 17

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{65290}{16949}$

Forma decimal:

$3.85214466 \dots$