Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} (\sqrt{\frac{5}{x + 3}}) (x^{2} + 1)$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{5}{x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

Etapa 2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{5}{x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

Etapa 3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt{5 lim_{x \to 8} \frac{1}{x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt{5 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

Etapa 5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

Etapa 7

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot (lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1)$

Etapa 9

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1)$

Etapa 10

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1)$

Etapa 11

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 11.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\sqrt{5 \frac{1}{8 + 3}} \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1)$

Etapa 11.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\sqrt{5 \frac{1}{8 + 3}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

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Etapa 12.1

Combine $5$ e $\frac{1}{8 + 3}$ .

$\sqrt{\frac{5}{8 + 3}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.2

Some $8$ e $3$ .

$\sqrt{\frac{5}{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.3

Reescreva $\sqrt{\frac{5}{11}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.4

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$ por $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 12.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$ por $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.5.2

Eleve $\sqrt{11}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.5.3

Eleve $\sqrt{11}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.5.6

Reescreva ${\sqrt{11}}^{2}$ como $11$ .

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Etapa 12.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{11}$ como $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11^{1}} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.5.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.6.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 11}}{11} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.6.2

Multiplique $5$ por $11$ .

$\frac{\sqrt{55}}{11} \cdot (8^{2} + 1)$

Etapa 12.7

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{55}}{11} \cdot (64 + 1)$

Etapa 12.8

Some $64$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{55}}{11} \cdot 65$

Etapa 12.9

Combine $\frac{\sqrt{55}}{11}$ e $65$ .

$\frac{\sqrt{55} \cdot 65}{11}$

Etapa 12.10

Mova $65$ para a esquerda de $\sqrt{55}$ .

$\frac{65 \sqrt{55}}{11}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{65 \sqrt{55}}{11}$

Forma decimal:

$43.82299106 \dots$