Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{\ln (x) \ln (x)}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (x^{\frac{1}{2}})}{lim_{x \to 8} \ln (x) \ln (x)}$

Etapa 2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{2}})}{lim_{x \to 8} \ln (x) \ln (x)}$

Etapa 3

Mova o expoente $\frac{1}{2}$ de $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{2}})}{lim_{x \to 8} \ln (x) \ln (x)}$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{2}})}{lim_{x \to 8} \ln (x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Etapa 5

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{2}})}{\ln (lim_{x \to 8} x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Etapa 6

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{2}})}{\ln (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Etapa 7

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\ln (8^{\frac{1}{2}})}{\ln (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\ln (8^{\frac{1}{2}})}{\ln (8) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Etapa 7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\ln (8^{\frac{1}{2}})}{\ln (8) \cdot \ln (8)}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Expanda $\ln (8^{\frac{1}{2}})$ movendo $\frac{1}{2}$ para fora do logaritmo.

$\frac{\frac{1}{2} \ln (8)}{\ln (8) \cdot \ln (8)}$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $\ln (8)$ .

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{1}{2} \ln (8)}{\ln (8) \cdot \ln (8)}$

Etapa 8.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{2}}{\ln (8)}$

Etapa 8.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (8)}$

Etapa 8.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{\ln (8)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (8)}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2 \ln (8)}$

Forma decimal:

$0.24044917 \dots$