Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{2} - 16}{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Etapa 3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Etapa 4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Etapa 5

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Etapa 7

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Etapa 9

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Etapa 10

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 8} x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Etapa 11

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Etapa 12

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 16}}$

Etapa 13

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

Etapa 14

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

Etapa 15

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Etapa 16

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Etapa 16.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Etapa 16.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Etapa 16.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Etapa 17

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{4 \cdot 64 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Etapa 17.1.2

Multiplique $4$ por $64$ .

$\frac{256 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Etapa 17.1.3

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{256 - 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Etapa 17.1.4

Subtraia $16$ de $256$ .

$\frac{240}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Etapa 17.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Etapa 17.2.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 64} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Etapa 17.2.3

Multiplique $4$ por $64$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 256} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Etapa 17.2.4

Some $4096$ e $256$ .

$\frac{240}{\sqrt{4352} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Etapa 17.2.5

Reescreva $4352$ como $16^{2} \cdot 17$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.5.1

Fatore $256$ de $4352$ .

$\frac{240}{\sqrt{256 (17)} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Etapa 17.2.5.2

Reescreva $256$ como $16^{2}$ .

$\frac{240}{\sqrt{16^{2} \cdot 17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Etapa 17.2.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Etapa 17.2.7

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4096 + 16}}$

Etapa 17.2.8

Some $4096$ e $16$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4112}}$

Etapa 17.2.9

Reescreva $4112$ como $4^{2} \cdot 257$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.9.1

Fatore $16$ de $4112$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{16 (257)}}$

Etapa 17.2.9.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4^{2} \cdot 257}}$

Etapa 17.2.10

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - (4 \sqrt{257})}$

Etapa 17.2.11

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

Etapa 17.3

Cancele o fator comum de $240$ e $16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.1

Fatore $4$ de $240$ .

$\frac{4 (60)}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

Etapa 17.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.2.1

Fatore $4$ de $16 \sqrt{17}$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) - 4 \sqrt{257}}$

Etapa 17.3.2.2

Fatore $4$ de $- 4 \sqrt{257}$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})}$

Etapa 17.3.2.3

Fatore $4$ de $4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

Etapa 17.3.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 60}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

Etapa 17.3.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$

Etapa 17.4

Multiplique $\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ por $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ .

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}} \cdot \frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$

Etapa 17.5

Multiplique $\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ por $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ .

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{(4 \sqrt{17} - \sqrt{257}) (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}$

Etapa 17.6

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{16 {\sqrt{17}}^{2} + 4 \sqrt{4369} - 4 \sqrt{4369} - {\sqrt{257}}^{2}}$

Etapa 17.7

Simplifique.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{15}$

Etapa 17.8

Cancele o fator comum de $60$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.8.1

Fatore $15$ de $60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ .

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15}$

Etapa 17.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.8.2.1

Fatore $15$ de $15$ .

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 (1)}$

Etapa 17.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 \cdot 1}$

Etapa 17.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{1}$

Etapa 17.8.2.4

Divida $4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ por $1$ .

$4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$

Etapa 17.9

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (4 \sqrt{17}) + 4 \sqrt{257}$

Etapa 17.10

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

Etapa 18

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

Forma decimal:

$130.09456817 \dots$