Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{3}}{\sin (x - 5) - (x - 5)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 5} {(x - 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Mova o expoente $3$ de ${(x - 5)}^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{{(5 - 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Etapa 1.1.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

Etapa 1.1.3

Avalie os limites substituindo $5$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite de $\sin (x - 5) - (x - 5)$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 - 5) - (5 - 5)}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{\sin (0) - (5 - 5)}$

Etapa 1.1.3.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 - (5 - 5)}$

Etapa 1.1.3.2.3

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Etapa 1.1.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{3}}{\sin (x - 5) - (x - 5)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 5$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Etapa 1.3.6

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

Etapa 1.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x - 5) - (x - 5)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - 5$ .

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Etapa 1.3.9.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Etapa 1.3.9.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Etapa 1.3.9.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Etapa 1.3.9.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Etapa 1.3.9.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Etapa 1.3.9.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Etapa 1.3.9.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Etapa 1.3.9.6

Multiplique $\cos (x - 5)$ por $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

Etapa 1.3.10

Avalie $\frac{d}{d x} [- (x - 5)]$ .

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Etapa 1.3.10.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x - 5)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x - 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.10.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Etapa 1.3.10.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Etapa 1.3.10.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - (1 + 0)}$

Etapa 1.3.10.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.10.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - 1}$

Etapa 1.3.11

Reordene os termos.

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{- 1 + \cos (x - 5)}$

Etapa 2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{2}}{- 1 + \cos (x - 5)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$3 \frac{lim_{x \to 5} {(x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Mova o expoente $2$ de ${(x - 5)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{{(lim_{x \to 5} x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Etapa 3.1.2.1.3

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$3 \frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$3 \frac{{(5 - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Etapa 3.1.2.3.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Etapa 3.1.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 5} 1 + lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Etapa 3.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Etapa 3.1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (lim_{x \to 5} x - 5)}$

Etapa 3.1.3.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

Etapa 3.1.3.1.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Etapa 3.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Etapa 3.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (5 - 5)}$

Etapa 3.1.3.3.1.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (0)}$

Etapa 3.1.3.3.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$3 \frac{0}{- 1 + 1}$

Etapa 3.1.3.3.2

Some $- 1$ e $1$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{2}}{- 1 + \cos (x - 5)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.2

Reescreva ${(x - 5)}^{2}$ como $(x - 5) (x - 5)$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.3

Expanda $(x - 5) (x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - 5) - 5 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.4.1.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.4.1.3

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 5 x + 25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.4.2

Subtraia $5 x$ de $- 5 x$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 10 x + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.7

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.9

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.10

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 + 0}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.11

Some $2 x - 10$ e $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 1 + \cos (x - 5)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.13

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]}$

Etapa 3.3.14

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]$ .

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Etapa 3.3.14.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.14.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 3.3.14.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 3.3.14.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 3.3.14.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Etapa 3.3.14.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Etapa 3.3.14.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) (1 + 0)}$

Etapa 3.3.14.5

Some $1$ e $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) \cdot 1}$

Etapa 3.3.14.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5)}$

Etapa 3.3.15

Subtraia $\sin (x - 5)$ de $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{- \sin (x - 5)}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$3 \frac{lim_{x \to 5} 2 x - 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$3 \frac{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Etapa 4.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Etapa 4.1.2.1.3

Avalie o limite de $10$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$3 \frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Etapa 4.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$3 \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$3 \frac{10 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Etapa 4.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$3 \frac{10 - 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Etapa 4.1.2.3.2

Subtraia $10$ de $10$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.3.1.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$3 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 5} x - 5)}$

Etapa 4.1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$3 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

Etapa 4.1.3.1.4

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$3 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Etapa 4.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$3 \frac{0}{- \sin (5 - 1 \cdot 5)}$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$3 \frac{0}{- \sin (5 - 5)}$

Etapa 4.1.3.3.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$3 \frac{0}{- \sin (0)}$

Etapa 4.1.3.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$3 \frac{0}{- 0}$

Etapa 4.1.3.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.1.3.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{- \sin (x - 5)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Etapa 4.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 4.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Etapa 4.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Etapa 4.3.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Etapa 4.3.4

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Etapa 4.3.5

Some $2$ e $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

Etapa 4.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x - 5)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Etapa 4.3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - 5$ .

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Etapa 4.3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 4.3.7.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (u) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 4.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 4.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Etapa 4.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Etapa 4.3.10

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) (1 + 0)}$

Etapa 4.3.11

Some $1$ e $0$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) \cdot 1}$

Etapa 4.3.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5)}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \cdot 2 lim_{x \to 5} \frac{1}{- \cos (x - 5)}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 5} 1}{lim_{x \to 5} - \cos (x - 5)}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 5} - \cos (x - 5)}$

Etapa 5.4

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{- lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Etapa 5.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (lim_{x \to 5} x - 5)}$

Etapa 5.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

Etapa 5.7

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 \frac{1}{- \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 7.2.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$6 \frac{- 1 (- 1)}{- \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Etapa 7.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 (- \frac{1}{\cos (5 - 1 \cdot 5)})$

Etapa 7.3

Converta de $\frac{1}{\cos (5 - 1 \cdot 5)}$ em $\sec (5 - 1 \cdot 5)$ .

$6 (- \sec (5 - 1 \cdot 5))$

Etapa 7.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$6 (- \sec (5 - 5))$

Etapa 7.5

Subtraia $5$ de $5$ .

$6 (- \sec (0))$

Etapa 7.6

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$6 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 7.7

Multiplique $6 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 7.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 \cdot - 1$

Etapa 7.7.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6$