Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 5} \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 16} - \sqrt[3]{9}}{x - 5}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 5} \sqrt[3]{x^{2} - 16} - \sqrt[3]{9}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} \sqrt[3]{x^{2} - 16} - lim_{x \to 5} \sqrt[3]{9}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 5} x^{2} - 16} - lim_{x \to 5} \sqrt[3]{9}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 16} - lim_{x \to 5} \sqrt[3]{9}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 16} - lim_{x \to 5} \sqrt[3]{9}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 16} - lim_{x \to 5} \sqrt[3]{9}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.1.6

Avalie o limite de $\sqrt[3]{9}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 16} - \sqrt[3]{9}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{2} - 1 \cdot 16} - \sqrt[3]{9}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{25 - 1 \cdot 16} - \sqrt[3]{9}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{\sqrt[3]{25 - 16} - \sqrt[3]{9}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $25$ .

$\frac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{9}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $\sqrt[3]{9}$ de $\sqrt[3]{9}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 5} \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 16} - \sqrt[3]{9}}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2} - 16} - \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2} - 16} - \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt[3]{x^{2} - 16} - \sqrt[3]{9}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2} - 16}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2} - 16}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2} - 16}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2} - 16}$ como ${(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 16$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 16$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{3} {(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{3} {(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{3} {(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{3} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.5

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{3} {(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{3} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{3} {(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{3} {(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{3} {(x^{2} - 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{3} {(x^{2} - 16)}^{\frac{1 - 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.9.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{3} {(x^{2} - 16)}^{\frac{- 2}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{3} {(x^{2} - 16)}^{- \frac{2}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.11

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{1}{3} {(x^{2} - 16)}^{- \frac{2}{3}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.12

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} - 16)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{{(x^{2} - 16)}^{- \frac{2}{3}}}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.13

Combine $2$ e $\frac{{(x^{2} - 16)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{2 {(x^{2} - 16)}^{- \frac{2}{3}}}{3} x + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.14

Combine $\frac{2 {(x^{2} - 16)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{2 {(x^{2} - 16)}^{- \frac{2}{3}} x}{3} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.3.15

Mova ${(x^{2} - 16)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{9}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.4

Como $- \sqrt[3]{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sqrt[3]{9}$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.5

Some $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}}}{1 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{3 {(x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{3 {(x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{2}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to 5} \frac{x}{{(x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} {(x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.3

Mova o expoente $\frac{2}{3}$ de ${(x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 5} x}{{(lim_{x \to 5} x^{2} - 16)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 5} x}{{(lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 16)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 5} x}{{({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 16)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 5} x}{{({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 16)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $5$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{{({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 16)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{{(5^{2} - 1 \cdot 16)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Combine.

$\frac{2 \cdot 5}{3 {(5^{2} - 1 \cdot 16)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{10}{3 {(5^{2} - 1 \cdot 16)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{10}{3 {(25 - 1 \cdot 16)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{10}{3 {(25 - 16)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $16$ de $25$ .

$\frac{10}{3 \cdot 9^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{10}{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique os expoentes em ${(3^{2})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 4.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3 \cdot 3^{2 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 4.4.2.2

Multiplique $2 (\frac{2}{3})$ .

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Etapa 4.4.2.2.1

Combine $2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{10}{3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Etapa 4.4.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{10}{3 \cdot 3^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{10}{3^{1 + \frac{4}{3}}}$

Etapa 4.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{10}{3^{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}}}$

Etapa 4.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{10}{3^{\frac{3 + 4}{3}}}$

Etapa 4.4.6

Some $3$ e $4$ .

$\frac{10}{3^{\frac{7}{3}}}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{10}{3^{\frac{7}{3}}}$

Forma decimal:

$0.77040141 \dots$