Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) (\sin (x - 6))}{x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 6} (x^{2} - 36) (\sin (x - 6))}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} x^{2} - 36 \cdot lim_{x \to 6} \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{(lim_{x \to 6} x^{2} - lim_{x \to 6} 36) \cdot lim_{x \to 6} \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - lim_{x \to 6} 36) \cdot lim_{x \to 6} \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $36$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) \cdot lim_{x \to 6} \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.8

Avalie os limites substituindo $6$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{(6^{2} - 1 \cdot 36) \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{(6^{2} - 1 \cdot 36) \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.9.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{(36 - 1 \cdot 36) \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.9.1.2

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$\frac{(36 - 36) \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.9.2

Subtraia $36$ de $36$ .

$\frac{0 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.9.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{0 \cdot \sin (6 - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.9.4

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.9.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.2.9.6

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x^{2} - 12 x + 36}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x^{2} - lim_{x \to 6} 12 x + lim_{x \to 6} 36}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} - lim_{x \to 6} 12 x + lim_{x \to 6} 36}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to 6} x + lim_{x \to 6} 36}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie o limite de $36$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to 6} x + 36}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $6$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{0}{6^{2} - 12 lim_{x \to 6} x + 36}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{0}{6^{2} - 12 \cdot 6 + 36}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{36 - 12 \cdot 6 + 36}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Multiplique $- 12$ por $6$ .

$\frac{0}{36 - 72 + 36}$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $72$ de $36$ .

$\frac{0}{- 36 + 36}$

Etapa 1.1.3.6.3

Some $- 36$ e $36$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) (\sin (x - 6))}{x^{2} - 12 x + 36} = lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} - 36) (\sin (x - 6))]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} - 36) (\sin (x - 6))]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} - 36$ e $g (x) = \sin (x - 6)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [\sin (x - 6)] + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - 6$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) (\cos (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.6

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) (1 + 0) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.7

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) \cdot 1 + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.8

Multiplique $x^{2} - 36$ por $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) + \sin (x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) + \sin (x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.11

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) + \sin (x - 6) (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.12

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{(x^{2} - 36) \cos (x - 6) + \sin (x - 6) (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.13

Reordene os termos.

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]}$

Etapa 1.3.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 12 x + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]}$

Etapa 1.3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]}$

Etapa 1.3.16

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 1.3.16.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]}$

Etapa 1.3.16.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]}$

Etapa 1.3.16.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{2 x - 12 + \frac{d}{d x} [36]}$

Etapa 1.3.17

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{2 x - 12 + 0}$

Etapa 1.3.18

Some $2 x - 12$ e $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{2 x - 12}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 6} \cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} \cos (x - 6) (x^{2} - 36) + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} \cos (x - 6) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 36 + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 6) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 36 + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 36 + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.5

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 36 + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot (lim_{x \to 6} x^{2} - lim_{x \to 6} 36) + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.7

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - lim_{x \to 6} 36) + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.8

Avalie o limite de $36$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) + lim_{x \to 6} 2 x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.9

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) + 2 lim_{x \to 6} x \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.10

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) + 2 lim_{x \to 6} x \cdot lim_{x \to 6} \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.11

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) + 2 lim_{x \to 6} x \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) + 2 lim_{x \to 6} x \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.13

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) + 2 lim_{x \to 6} x \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.14

Avalie os limites substituindo $6$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.14.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{\cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36) + 2 lim_{x \to 6} x \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.14.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{\cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 36) + 2 lim_{x \to 6} x \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.14.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{\cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 36) + 2 \cdot 6 \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.14.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{\cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 36) + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.15

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.15.1.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{\cos (6 - 6) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 36) + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.15.1.2

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{\cos (0) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 36) + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.15.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 \cdot (6^{2} - 1 \cdot 36) + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.15.1.4

Multiplique $6^{2} - 1 \cdot 36$ por $1$ .

$\frac{6^{2} - 1 \cdot 36 + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.15.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.15.1.5.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{36 - 1 \cdot 36 + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.15.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$\frac{36 - 36 + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.15.1.6

Subtraia $36$ de $36$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 6 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.15.1.7

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{0 + 12 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.15.1.8

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{0 + 12 \cdot \sin (6 - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.15.1.9

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{0 + 12 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.15.1.10

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.15.1.11

Multiplique $12$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.2.15.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} 2 x - 12}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} 2 x - lim_{x \to 6} 12}$

Etapa 2.1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 12}$

Etapa 2.1.3.1.3

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 12}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 6 - 1 \cdot 12}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.3.1.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{0}{12 - 1 \cdot 12}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$\frac{0}{12 - 12}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $12$ de $12$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)}{2 x - 12} = lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 x \sin (x - 6)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x - 6) (x^{2} - 36)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x - 6) (x^{2} - 36)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (x - 6) (x^{2} - 36)]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x - 6)$ e $g (x) = x^{2} - 36$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36] + (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [\cos (x - 6)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]) + (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [\cos (x - 6)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]) + (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [\cos (x - 6)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.3.4

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + 0) + (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [\cos (x - 6)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x - 6$ .

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Etapa 2.3.3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + 0) + (x^{2} - 36) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - 6]) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.3.5.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + 0) + (x^{2} - 36) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - 6]) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + 0) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6]) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + 0) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + 0) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.3.8

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x + 0) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.3.9

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.3.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x - 6)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \sin (x - 6)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x - 6)]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x - 6)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x - 6)] + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - 6$ .

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Etapa 2.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.4.3.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\cos (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6]) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\cos (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\cos (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.4.6

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\cos (x - 6) (1 + 0)) + \sin (x - 6) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\cos (x - 6) (1 + 0)) + \sin (x - 6) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.4.8

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x (\cos (x - 6) \cdot 1) + \sin (x - 6) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.4.9

Multiplique $\cos (x - 6)$ por $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x \cos (x - 6) + \sin (x - 6) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.4.10

Multiplique $\sin (x - 6)$ por $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x \cos (x - 6) + \sin (x - 6))}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (2 x) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 (x \cos (x - 6)) + 2 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.5.2

Some $\cos (x - 6) (2 x)$ e $2 x \cos (x - 6)$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Mova $\cos (x - 6)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 x \cos (x - 6) + 2 x \cos (x - 6) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.5.2.2

Some $2 x \cos (x - 6)$ e $2 x \cos (x - 6)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) + (x^{2} - 36) (- \sin (x - 6)) + 2 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.5.3

Reordene os termos.

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - \sin (x - 6) (x^{2} - 36) + 2 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.5.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - \sin (x - 6) x^{2} - \sin (x - 6) \cdot - 36 + 2 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.5.4.2

Multiplique $- 36$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - \sin (x - 6) x^{2} + 36 \sin (x - 6) + 2 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.5.5

Some $36 \sin (x - 6)$ e $2 \sin (x - 6)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - \sin (x - 6) x^{2} + 38 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.5.6

Reordene os fatores em $4 x \cos (x - 6) - \sin (x - 6) x^{2} + 38 \sin (x - 6)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x - 12]}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Etapa 2.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.7.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Etapa 2.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Etapa 2.3.7.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)}{2 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Etapa 2.3.8

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)}{2 + 0}$

Etapa 2.3.9

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)}{2}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 6} 4 x \cos (x - 6) - x^{2} \sin (x - 6) + 38 \sin (x - 6)$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 6} 4 x \cos (x - 6) - lim_{x \to 6} x^{2} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Etapa 3.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cos (x - 6) - lim_{x \to 6} x^{2} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot lim_{x \to 6} \cos (x - 6) - lim_{x \to 6} x^{2} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Etapa 3.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 6) - lim_{x \to 6} x^{2} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Etapa 3.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6) - lim_{x \to 6} x^{2} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Etapa 3.7

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - lim_{x \to 6} x^{2} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Etapa 3.8

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - lim_{x \to 6} x^{2} \cdot lim_{x \to 6} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Etapa 3.9

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 6} \sin (x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Etapa 3.10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Etapa 3.11

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Etapa 3.12

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + lim_{x \to 6} 38 \sin (x - 6))$

Etapa 3.13

Mova o termo $38$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + 38 lim_{x \to 6} \sin (x - 6))$

Etapa 3.14

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + 38 \sin (lim_{x \to 6} x - 6))$

Etapa 3.15

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + 38 \sin (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6))$

Etapa 3.16

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 6} x \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + 38 \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6))$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $6$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 6 \cdot \cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + 38 \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6))$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 6 \cdot \cos (6 - 1 \cdot 6) - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + 38 \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6))$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 6 \cdot \cos (6 - 1 \cdot 6) - 6^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6) + 38 \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6))$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 6 \cdot \cos (6 - 1 \cdot 6) - 6^{2} \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6))$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 6 \cdot \cos (6 - 1 \cdot 6) - 6^{2} \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $4$ por $6$ .

$\frac{1}{2} (24 \cdot \cos (6 - 1 \cdot 6) - 6^{2} \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{1}{2} (24 \cdot \cos (6 - 6) - 6^{2} \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Etapa 5.1.3

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{1}{2} (24 \cdot \cos (0) - 6^{2} \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Etapa 5.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (24 \cdot 1 - 6^{2} \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Etapa 5.1.5

Multiplique $24$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (24 - 6^{2} \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Etapa 5.1.6

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} (24 - 1 \cdot 36 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Etapa 5.1.7

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$\frac{1}{2} (24 - 36 \cdot \sin (6 - 1 \cdot 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Etapa 5.1.8

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{1}{2} (24 - 36 \cdot \sin (6 - 6) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Etapa 5.1.9

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{1}{2} (24 - 36 \cdot \sin (0) + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Etapa 5.1.10

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (24 - 36 \cdot 0 + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Etapa 5.1.11

Multiplique $- 36$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (24 + 0 + 38 \sin (6 - 1 \cdot 6))$

Etapa 5.1.12

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{1}{2} (24 + 0 + 38 \sin (6 - 6))$

Etapa 5.1.13

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{1}{2} (24 + 0 + 38 \sin (0))$

Etapa 5.1.14

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (24 + 0 + 38 \cdot 0)$

Etapa 5.1.15

Multiplique $38$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (24 + 0 + 0)$

Etapa 5.2

Some $24$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (24 + 0)$

Etapa 5.3

Some $24$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 24$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $2$ de $24$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (12))$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 12)$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$12$