Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{5 x^{2} - 4}{\sqrt{4 x^{4} + 2}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 x^{2} - 4}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 2}}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 x^{2} - lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 2}}$

Etapa 3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 2}}$

Etapa 4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 2}}$

Etapa 5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 2}}$

Etapa 6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{4} + 2}}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{4} + lim_{x \to 8} 2}}$

Etapa 8

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 2}}$

Etapa 9

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 2}}$

Etapa 10

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2}}$

Etapa 11

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 11.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{5 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2}}$

Etapa 11.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{5 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}{\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 2}}$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

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Etapa 12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{5 \cdot 64 - 1 \cdot 4}{\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 2}}$

Etapa 12.1.2

Multiplique $5$ por $64$ .

$\frac{320 - 1 \cdot 4}{\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 2}}$

Etapa 12.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{320 - 4}{\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 2}}$

Etapa 12.1.4

Subtraia $4$ de $320$ .

$\frac{316}{\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 2}}$

Etapa 12.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 12.2.1

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$\frac{316}{\sqrt{4 \cdot 4096 + 2}}$

Etapa 12.2.2

Multiplique $4$ por $4096$ .

$\frac{316}{\sqrt{16384 + 2}}$

Etapa 12.2.3

Some $16384$ e $2$ .

$\frac{316}{\sqrt{16386}}$

Etapa 12.3

Multiplique $\frac{316}{\sqrt{16386}}$ por $\frac{\sqrt{16386}}{\sqrt{16386}}$ .

$\frac{316}{\sqrt{16386}} \cdot \frac{\sqrt{16386}}{\sqrt{16386}}$

Etapa 12.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 12.4.1

Multiplique $\frac{316}{\sqrt{16386}}$ por $\frac{\sqrt{16386}}{\sqrt{16386}}$ .

$\frac{316 \sqrt{16386}}{\sqrt{16386} \sqrt{16386}}$

Etapa 12.4.2

Eleve $\sqrt{16386}$ à potência de $1$ .

$\frac{316 \sqrt{16386}}{{\sqrt{16386}}^{1} \sqrt{16386}}$

Etapa 12.4.3

Eleve $\sqrt{16386}$ à potência de $1$ .

$\frac{316 \sqrt{16386}}{{\sqrt{16386}}^{1} {\sqrt{16386}}^{1}}$

Etapa 12.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{316 \sqrt{16386}}{{\sqrt{16386}}^{1 + 1}}$

Etapa 12.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{316 \sqrt{16386}}{{\sqrt{16386}}^{2}}$

Etapa 12.4.6

Reescreva ${\sqrt{16386}}^{2}$ como $16386$ .

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Etapa 12.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{16386}$ como $16386^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{316 \sqrt{16386}}{{(16386^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 12.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{316 \sqrt{16386}}{16386^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 12.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{316 \sqrt{16386}}{16386^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 12.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{316 \sqrt{16386}}{16386^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 12.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{316 \sqrt{16386}}{16386^{1}}$

Etapa 12.4.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{316 \sqrt{16386}}{16386}$

Etapa 12.5

Cancele o fator comum de $316$ e $16386$ .

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Etapa 12.5.1

Fatore $2$ de $316 \sqrt{16386}$ .

$\frac{2 (158 \sqrt{16386})}{16386}$

Etapa 12.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.5.2.1

Fatore $2$ de $16386$ .

$\frac{2 (158 \sqrt{16386})}{2 (8193)}$

Etapa 12.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (158 \sqrt{16386})}{2 \cdot 8193}$

Etapa 12.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{158 \sqrt{16386}}{8193}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{158 \sqrt{16386}}{8193}$

Forma decimal:

$2.46859933 \dots$