Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{5 + 10 x}{\sqrt{10 + 8 x^{2}}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 + 10 x}{lim_{x \to 8} \sqrt{10 + 8 x^{2}}}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 + lim_{x \to 8} 10 x}{lim_{x \to 8} \sqrt{10 + 8 x^{2}}}$

Etapa 3

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{5 + lim_{x \to 8} 10 x}{lim_{x \to 8} \sqrt{10 + 8 x^{2}}}$

Etapa 4

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5 + 10 lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{10 + 8 x^{2}}}$

Etapa 5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{5 + 10 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 10 + 8 x^{2}}}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{5 + 10 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 10 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Etapa 7

Avalie o limite de $10$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{5 + 10 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{10 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Etapa 8

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5 + 10 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{10 + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Etapa 9

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{5 + 10 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{10 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Etapa 10

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 10.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{5 + 10 \cdot 8}{\sqrt{10 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Etapa 10.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{5 + 10 \cdot 8}{\sqrt{10 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.1

Multiplique $10$ por $8$ .

$\frac{5 + 80}{\sqrt{10 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Etapa 11.1.2

Some $5$ e $80$ .

$\frac{85}{\sqrt{10 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Etapa 11.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.2.1

Multiplique $8$ por $8^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.2.1.1

Multiplique $8$ por $8^{2}$ .

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Etapa 11.2.1.1.1

Eleve $8$ à potência de $1$ .

$\frac{85}{\sqrt{10 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}$

Etapa 11.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{85}{\sqrt{10 + 8^{1 + 2}}}$

Etapa 11.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{85}{\sqrt{10 + 8^{3}}}$

Etapa 11.2.2

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{85}{\sqrt{10 + 512}}$

Etapa 11.2.3

Some $10$ e $512$ .

$\frac{85}{\sqrt{522}}$

Etapa 11.2.4

Reescreva $522$ como $3^{2} \cdot 58$ .

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Etapa 11.2.4.1

Fatore $9$ de $522$ .

$\frac{85}{\sqrt{9 (58)}}$

Etapa 11.2.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{85}{\sqrt{3^{2} \cdot 58}}$

Etapa 11.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{85}{3 \sqrt{58}}$

Etapa 11.3

Multiplique $\frac{85}{3 \sqrt{58}}$ por $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$\frac{85}{3 \sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$

Etapa 11.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 11.4.1

Multiplique $\frac{85}{3 \sqrt{58}}$ por $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$\frac{85 \sqrt{58}}{3 \sqrt{58} \sqrt{58}}$

Etapa 11.4.2

Mova $\sqrt{58}$ .

$\frac{85 \sqrt{58}}{3 (\sqrt{58} \sqrt{58})}$

Etapa 11.4.3

Eleve $\sqrt{58}$ à potência de $1$ .

$\frac{85 \sqrt{58}}{3 ({\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58})}$

Etapa 11.4.4

Eleve $\sqrt{58}$ à potência de $1$ .

$\frac{85 \sqrt{58}}{3 ({\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1})}$

Etapa 11.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{85 \sqrt{58}}{3 {\sqrt{58}}^{1 + 1}}$

Etapa 11.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{85 \sqrt{58}}{3 {\sqrt{58}}^{2}}$

Etapa 11.4.7

Reescreva ${\sqrt{58}}^{2}$ como $58$ .

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Etapa 11.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{58}$ como $58^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{85 \sqrt{58}}{3 {(58^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{85 \sqrt{58}}{3 \cdot 58^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 11.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{85 \sqrt{58}}{3 \cdot 58^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{85 \sqrt{58}}{3 \cdot 58^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{85 \sqrt{58}}{3 \cdot 58^{1}}$

Etapa 11.4.7.5

Avalie o expoente.

$\frac{85 \sqrt{58}}{3 \cdot 58}$

Etapa 11.5

Multiplique $3$ por $58$ .

$\frac{85 \sqrt{58}}{174}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{85 \sqrt{58}}{174}$

Forma decimal:

$3.72034893 \dots$