Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{2} + 9}{\sqrt{x^{7} + 6 x^{2} - 5}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{7} + 6 x^{2} - 5}}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{7} + 6 x^{2} - 5}}$

Etapa 3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{7} + 6 x^{2} - 5}}$

Etapa 4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{7} + 6 x^{2} - 5}}$

Etapa 5

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{7} + 6 x^{2} - 5}}$

Etapa 6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{7} + 6 x^{2} - 5}}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{7} + lim_{x \to 8} 6 x^{2} - lim_{x \to 8} 5}}$

Etapa 8

Mova o expoente $7$ de $x^{7}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{7} + lim_{x \to 8} 6 x^{2} - lim_{x \to 8} 5}}$

Etapa 9

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{7} + 6 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 5}}$

Etapa 10

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{7} + 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 5}}$

Etapa 11

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{7} + 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 5}}$

Etapa 12

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 12.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} + 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{7} + 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 5}}$

Etapa 12.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} + 9}{\sqrt{8^{7} + 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 5}}$

Etapa 12.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} + 9}{\sqrt{8^{7} + 6 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 5}}$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{4 \cdot 64 + 9}{\sqrt{8^{7} + 6 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 5}}$

Etapa 13.1.2

Multiplique $4$ por $64$ .

$\frac{256 + 9}{\sqrt{8^{7} + 6 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 5}}$

Etapa 13.1.3

Some $256$ e $9$ .

$\frac{265}{\sqrt{8^{7} + 6 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 5}}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 13.2.1

Eleve $8$ à potência de $7$ .

$\frac{265}{\sqrt{2097152 + 6 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 5}}$

Etapa 13.2.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{265}{\sqrt{2097152 + 6 \cdot 64 - 1 \cdot 5}}$

Etapa 13.2.3

Multiplique $6$ por $64$ .

$\frac{265}{\sqrt{2097152 + 384 - 1 \cdot 5}}$

Etapa 13.2.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{265}{\sqrt{2097152 + 384 - 5}}$

Etapa 13.2.5

Some $2097152$ e $384$ .

$\frac{265}{\sqrt{2097536 - 5}}$

Etapa 13.2.6

Subtraia $5$ de $2097536$ .

$\frac{265}{\sqrt{2097531}}$

Etapa 13.2.7

Reescreva $2097531$ como $3^{2} \cdot 233059$ .

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Etapa 13.2.7.1

Fatore $9$ de $2097531$ .

$\frac{265}{\sqrt{9 (233059)}}$

Etapa 13.2.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{265}{\sqrt{3^{2} \cdot 233059}}$

Etapa 13.2.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{265}{3 \sqrt{233059}}$

Etapa 13.3

Multiplique $\frac{265}{3 \sqrt{233059}}$ por $\frac{\sqrt{233059}}{\sqrt{233059}}$ .

$\frac{265}{3 \sqrt{233059}} \cdot \frac{\sqrt{233059}}{\sqrt{233059}}$

Etapa 13.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 13.4.1

Multiplique $\frac{265}{3 \sqrt{233059}}$ por $\frac{\sqrt{233059}}{\sqrt{233059}}$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 \sqrt{233059} \sqrt{233059}}$

Etapa 13.4.2

Mova $\sqrt{233059}$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 (\sqrt{233059} \sqrt{233059})}$

Etapa 13.4.3

Eleve $\sqrt{233059}$ à potência de $1$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 ({\sqrt{233059}}^{1} \sqrt{233059})}$

Etapa 13.4.4

Eleve $\sqrt{233059}$ à potência de $1$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 ({\sqrt{233059}}^{1} {\sqrt{233059}}^{1})}$

Etapa 13.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 {\sqrt{233059}}^{1 + 1}}$

Etapa 13.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 {\sqrt{233059}}^{2}}$

Etapa 13.4.7

Reescreva ${\sqrt{233059}}^{2}$ como $233059$ .

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Etapa 13.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{233059}$ como $233059^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 {(233059^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 13.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 \cdot 233059^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 13.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 \cdot 233059^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 13.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 \cdot 233059^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 13.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 \cdot 233059^{1}}$

Etapa 13.4.7.5

Avalie o expoente.

$\frac{265 \sqrt{233059}}{3 \cdot 233059}$

Etapa 13.5

Multiplique $3$ por $233059$ .

$\frac{265 \sqrt{233059}}{699177}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{265 \sqrt{233059}}{699177}$

Forma decimal:

$0.18297496 \dots$