Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{3} + 8}{4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{3} + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Etapa 3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Etapa 4

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Etapa 5

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Etapa 7

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Etapa 8

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Etapa 9

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{lim_{x \to 8} 64 x^{6} + 1}}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{lim_{x \to 8} 64 x^{6} + lim_{x \to 8} 1}}$

Etapa 11

Mova o termo $64$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 lim_{x \to 8} x^{6} + lim_{x \to 8} 1}}$

Etapa 12

Mova o expoente $6$ de $x^{6}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + lim_{x \to 8} 1}}$

Etapa 13

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 1}}$

Etapa 14

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 14.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 1}}$

Etapa 14.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{3} + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 1}}$

Etapa 14.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{3} + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 1}}$

Etapa 15

Simplifique a resposta.

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Etapa 15.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.1.1

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{3 \cdot 512 + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 1}}$

Etapa 15.1.2

Multiplique $3$ por $512$ .

$\frac{1536 + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 1}}$

Etapa 15.1.3

Some $1536$ e $8$ .

$\frac{1544}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 1}}$

Etapa 15.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 15.2.1

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{1544}{4 \cdot 512 + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 1}}$

Etapa 15.2.2

Multiplique $4$ por $512$ .

$\frac{1544}{2048 + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 1}}$

Etapa 15.2.3

Eleve $8$ à potência de $6$ .

$\frac{1544}{2048 + \sqrt{64 \cdot 262144 + 1}}$

Etapa 15.2.4

Multiplique $64$ por $262144$ .

$\frac{1544}{2048 + \sqrt{16777216 + 1}}$

Etapa 15.2.5

Some $16777216$ e $1$ .

$\frac{1544}{2048 + \sqrt{16777217}}$

Etapa 15.3

Multiplique $\frac{1544}{2048 + \sqrt{16777217}}$ por $\frac{2048 - \sqrt{16777217}}{2048 - \sqrt{16777217}}$ .

$\frac{1544}{2048 + \sqrt{16777217}} \cdot \frac{2048 - \sqrt{16777217}}{2048 - \sqrt{16777217}}$

Etapa 15.4

Multiplique $\frac{1544}{2048 + \sqrt{16777217}}$ por $\frac{2048 - \sqrt{16777217}}{2048 - \sqrt{16777217}}$ .

$\frac{1544 (2048 - \sqrt{16777217})}{(2048 + \sqrt{16777217}) (2048 - \sqrt{16777217})}$

Etapa 15.5

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{1544 (2048 - \sqrt{16777217})}{4194304 - 2048 \sqrt{16777217} + \sqrt{16777217} \cdot 2048 - {\sqrt{16777217}}^{2}}$

Etapa 15.6

Simplifique.

$\frac{1544 (2048 - \sqrt{16777217})}{- 12582913}$

Etapa 15.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1544 (2048 - \sqrt{16777217})}{12582913}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1544 (2048 - \sqrt{16777217})}{12582913}$

Forma decimal:

$0.25130207 \dots$