Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

Etapa 1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$3 \frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

Etapa 3

Mova o expoente $\frac{3}{2}$ de $x^{\frac{3}{2}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 4}$

Etapa 5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 4}$

Etapa 6

Mova o expoente $\frac{3}{2}$ de $x^{\frac{3}{2}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 4}$

Etapa 7

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 4}$

Etapa 8

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 4}$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 4}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Multiplique $4 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 9.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 4}$

Etapa 9.1.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} + 4}$

Etapa 9.1.3

Multiplique os expoentes em ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 9.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} + 4}$

Etapa 9.1.3.2

Multiplique $3 (\frac{3}{2})$ .

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Etapa 9.1.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{3}{2}$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} + 4}$

Etapa 9.1.3.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 4}$

Etapa 9.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2 + \frac{9}{2}} + 4}$

Etapa 9.1.5

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}} + 4}$

Etapa 9.1.6

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}} + 4}$

Etapa 9.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 9}{2}} + 4}$

Etapa 9.1.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.8.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{4 + 9}{2}} + 4}$

Etapa 9.1.8.2

Some $4$ e $9$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$

Etapa 9.2

Combine $3$ e $\frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$ .

$\frac{3 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$

Forma decimal:

$0.71825721 \dots$