Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{\sin (x) + 2}}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{\sin (x) + 2}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 8} x^{\sin (x) + 2}}$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 2.1

Reescreva $x^{\sin (x) + 2}$ como $e^{\ln (x^{\sin (x) + 2})}$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{\sin (x) + 2})}}$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (x^{\sin (x) + 2})$ movendo $\sin (x) + 2$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} e^{(\sin (x) + 2) \ln (x)}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{e^{lim_{x \to 8} (\sin (x) + 2) \ln (x)}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{x \to 8} \sin (x) + 2 \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{e^{(lim_{x \to 8} \sin (x) + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Etapa 3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Etapa 3.6

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + 2) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (8) + 2) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (8) + 2) \cdot \ln (8)}}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1.1

Avalie $\sin (8)$ .

$\frac{1}{e^{(0.1391731 + 2) \cdot \ln (8)}}$

Etapa 5.1.2

Some $0.1391731$ e $2$ .

$\frac{1}{e^{2.1391731 \cdot \ln (8)}}$

Etapa 5.1.3

Simplifique $2.1391731 \cdot \ln (8)$ movendo $2.1391731$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{e^{\ln (8^{2.1391731})}}$

Etapa 5.1.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{8^{2.1391731}}$

Etapa 5.1.5

Eleve $8$ à potência de $2.1391731$ .

$\frac{1}{85.48025477}$

Etapa 5.2

Divida $1$ por $85.48025477$ .

$0.0116986$