Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{x^{3} + 8}{4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Etapa 3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Etapa 4

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Etapa 6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Etapa 7

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Etapa 8

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{lim_{x \to 8} 64 x^{6} + 4}}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{lim_{x \to 8} 64 x^{6} + lim_{x \to 8} 4}}$

Etapa 10

Mova o termo $64$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 lim_{x \to 8} x^{6} + lim_{x \to 8} 4}}$

Etapa 11

Mova o expoente $6$ de $x^{6}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + lim_{x \to 8} 4}}$

Etapa 12

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 4}}$

Etapa 13

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{8^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 4}}$

Etapa 13.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{8^{3} + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 4}}$

Etapa 13.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{8^{3} + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 4}}$

Etapa 14

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{512 + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 4}}$

Etapa 14.1.2

Some $512$ e $8$ .

$\frac{520}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 4}}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{520}{4 \cdot 512 + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 4}}$

Etapa 14.2.2

Multiplique $4$ por $512$ .

$\frac{520}{2048 + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 4}}$

Etapa 14.2.3

Eleve $8$ à potência de $6$ .

$\frac{520}{2048 + \sqrt{64 \cdot 262144 + 4}}$

Etapa 14.2.4

Multiplique $64$ por $262144$ .

$\frac{520}{2048 + \sqrt{16777216 + 4}}$

Etapa 14.2.5

Some $16777216$ e $4$ .

$\frac{520}{2048 + \sqrt{16777220}}$

Etapa 14.2.6

Reescreva $16777220$ como $2^{2} \cdot 4194305$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.6.1

Fatore $4$ de $16777220$ .

$\frac{520}{2048 + \sqrt{4 (4194305)}}$

Etapa 14.2.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{520}{2048 + \sqrt{2^{2} \cdot 4194305}}$

Etapa 14.2.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{520}{2048 + 2 \sqrt{4194305}}$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum de $520$ e $2048 + 2 \sqrt{4194305}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Fatore $2$ de $520$ .

$\frac{2 \cdot 260}{2048 + 2 \sqrt{4194305}}$

Etapa 14.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Fatore $2$ de $2048$ .

$\frac{2 \cdot 260}{2 (1024) + 2 \sqrt{4194305}}$

Etapa 14.3.2.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{4194305}$ .

$\frac{2 \cdot 260}{2 (1024) + 2 (\sqrt{4194305})}$

Etapa 14.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (1024) + 2 (\sqrt{4194305})$ .

$\frac{2 \cdot 260}{2 (1024 + \sqrt{4194305})}$

Etapa 14.3.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 260}{2 (1024 + \sqrt{4194305})}$

Etapa 14.3.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{260}{1024 + \sqrt{4194305}}$

Etapa 14.4

Multiplique $\frac{260}{1024 + \sqrt{4194305}}$ por $\frac{1024 - \sqrt{4194305}}{1024 - \sqrt{4194305}}$ .

$\frac{260}{1024 + \sqrt{4194305}} \cdot \frac{1024 - \sqrt{4194305}}{1024 - \sqrt{4194305}}$

Etapa 14.5

Multiplique $\frac{260}{1024 + \sqrt{4194305}}$ por $\frac{1024 - \sqrt{4194305}}{1024 - \sqrt{4194305}}$ .

$\frac{260 (1024 - \sqrt{4194305})}{(1024 + \sqrt{4194305}) (1024 - \sqrt{4194305})}$

Etapa 14.6

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{260 (1024 - \sqrt{4194305})}{1048576 - 1024 \sqrt{4194305} + \sqrt{4194305} \cdot 1024 - {\sqrt{4194305}}^{2}}$

Etapa 14.7

Simplifique.

$\frac{260 (1024 - \sqrt{4194305})}{- 3145729}$

Etapa 14.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{260 (1024 - \sqrt{4194305})}{3145729}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{260 (1024 - \sqrt{4194305})}{3145729}$

Forma decimal:

$0.08463540 \dots$