Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x - 1})}^{3 x}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\frac{x}{x - 1})}^{3 x}$ como $e^{\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})$ movendo $3 x$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{3 x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 8} 3 x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Etapa 2.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Etapa 2.4

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x}{x - 1})}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1})}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $3$ por $8$ .

$e^{24 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}$

Etapa 4.2

Simplifique $24 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})$ movendo $24$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln ({(\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}^{24})}$

Etapa 4.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}^{24}$

Etapa 4.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

${(\frac{8}{8 - 1})}^{24}$

Etapa 4.4.2

Subtraia $1$ de $8$ .

${(\frac{8}{7})}^{24}$

Etapa 4.5

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{7}$ .

$\frac{8^{24}}{7^{24}}$

Etapa 4.6

Eleve $8$ à potência de $24$ .

$\frac{4722366482869640000000}{7^{24}}$

Etapa 4.7

Eleve $7$ à potência de $24$ .

$\frac{4722366482869640000000}{191581231380566000000}$

Etapa 4.8

Cancele o fator comum de $4722366482869640000000$ e $191581231380566000000$ .

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Etapa 4.8.1

Fatore $2000000$ de $4722366482869640000000$ .

$\frac{2000000 (2361183241434820)}{191581231380566000000}$

Etapa 4.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.8.2.1

Fatore $2000000$ de $191581231380566000000$ .

$\frac{2000000 \cdot 2361183241434820}{2000000 \cdot 95790615690283}$

Etapa 4.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2000000 \cdot 2361183241434820}{2000000 \cdot 95790615690283}$

Etapa 4.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2361183241434820}{95790615690283}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2361183241434820}{95790615690283}$

Forma decimal:

$24.64942128 \dots$