Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 64}}{3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Etapa 2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + lim_{x \to - 8} 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Etapa 4

Mova o expoente $6$ de $x^{6}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + lim_{x \to - 8} 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Etapa 5

Avalie o limite de $64$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Etapa 7

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Etapa 8

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Etapa 9

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 2 x^{4} + 16}}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 2 x^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Etapa 11

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 lim_{x \to - 8} x^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Etapa 12

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Etapa 13

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Etapa 14

Avalie os limites substituindo $- 8$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Etapa 14.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Etapa 14.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Etapa 15

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $6$ .

$\frac{\sqrt[3]{262144 + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Etapa 15.1.2

Some $262144$ e $64$ .

$\frac{\sqrt[3]{262208}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Etapa 15.1.3

Reescreva $262208$ como $4^{3} \cdot 4097$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.3.1

Fatore $64$ de $262208$ .

$\frac{\sqrt[3]{64 (4097)}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Etapa 15.1.3.2

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4097}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Etapa 15.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Etapa 15.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{3 \cdot 64 + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Etapa 15.2.2

Multiplique $3$ por $64$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Etapa 15.2.3

Eleve $- 8$ à potência de $4$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{2 \cdot 4096 + 16}}$

Etapa 15.2.4

Multiplique $2$ por $4096$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{8192 + 16}}$

Etapa 15.2.5

Some $8192$ e $16$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{8208}}$

Etapa 15.2.6

Reescreva $8208$ como $12^{2} \cdot 57$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1

Fatore $144$ de $8208$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{144 (57)}}$

Etapa 15.2.6.2

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{12^{2} \cdot 57}}$

Etapa 15.2.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + 12 \sqrt{57}}$

Etapa 15.3

Cancele o fator comum de $4$ e $192 + 12 \sqrt{57}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt[3]{4097}$ .

$\frac{4 (\sqrt[3]{4097})}{192 + 12 \sqrt{57}}$

Etapa 15.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.1

Fatore $4$ de $192$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 \cdot 48 + 12 \sqrt{57}}$

Etapa 15.3.2.2

Fatore $4$ de $12 \sqrt{57}$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 \cdot 48 + 4 (3 \sqrt{57})}$

Etapa 15.3.2.3

Fatore $4$ de $4 (48) + 4 (3 \sqrt{57})$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 (48 + 3 \sqrt{57})}$

Etapa 15.3.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 (48 + 3 \sqrt{57})}$

Etapa 15.3.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$

Etapa 15.4

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$ por $\frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$

Etapa 15.5

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$ por $\frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{(48 + 3 \sqrt{57}) (48 - 3 \sqrt{57})}$

Etapa 15.6

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{2304 - 144 \sqrt{57} + 144 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

Etapa 15.7

Simplifique.

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{1791}$

Etapa 15.8

Cancele o fator comum de $48 - 3 \sqrt{57}$ e $1791$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.8.1

Fatore $3$ de $\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})$ .

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{1791}$

Etapa 15.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.8.2.1

Fatore $3$ de $1791$ .

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{3 (597)}$

Etapa 15.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{3 \cdot 597}$

Etapa 15.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57})}{597}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57})}{597}$

Forma decimal:

$0.22648852 \dots$