Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{2 x^{2} + 1}}$

Etapa 2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{2 x^{2} + 1}}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{2 x^{2} + 1}}$

Etapa 4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{2 x^{2} + 1}}$

Etapa 5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{2 x^{2} + 1}}$

Etapa 6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 1}}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Etapa 8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2}}{\sqrt{2 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Etapa 9

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2}}{\sqrt{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Etapa 10

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2}}{\sqrt{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}}$

Etapa 11

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} + 2}}{\sqrt{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}}$

Etapa 11.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} + 2}}{\sqrt{2 \cdot 8^{2} + 1}}$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 2}}{\sqrt{2 \cdot 8^{2} + 1}}$

Etapa 12.1.2

Some $64$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{2 \cdot 8^{2} + 1}}$

Etapa 12.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{2 \cdot 64 + 1}}$

Etapa 12.2.2

Multiplique $2$ por $64$ .

$\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{128 + 1}}$

Etapa 12.2.3

Some $128$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{129}}$

Etapa 12.3

Combine $\sqrt{66}$ e $\sqrt{129}$ em um único radical.

$\sqrt{\frac{66}{129}}$

Etapa 12.4

Cancele o fator comum de $66$ e $129$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.1

Fatore $3$ de $66$ .

$\sqrt{\frac{3 (22)}{129}}$

Etapa 12.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.2.1

Fatore $3$ de $129$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 22}{3 \cdot 43}}$

Etapa 12.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 22}{3 \cdot 43}}$

Etapa 12.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{22}{43}}$

Etapa 12.5

Reescreva $\sqrt{\frac{22}{43}}$ como $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{43}}$ .

$\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{43}}$

Etapa 12.6

Multiplique $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{43}}$ por $\frac{\sqrt{43}}{\sqrt{43}}$ .

$\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{43}} \cdot \frac{\sqrt{43}}{\sqrt{43}}$

Etapa 12.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.7.1

Multiplique $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{43}}$ por $\frac{\sqrt{43}}{\sqrt{43}}$ .

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{43}}{\sqrt{43} \sqrt{43}}$

Etapa 12.7.2

Eleve $\sqrt{43}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{43}}{{\sqrt{43}}^{1} \sqrt{43}}$

Etapa 12.7.3

Eleve $\sqrt{43}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{43}}{{\sqrt{43}}^{1} {\sqrt{43}}^{1}}$

Etapa 12.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{43}}{{\sqrt{43}}^{1 + 1}}$

Etapa 12.7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{43}}{{\sqrt{43}}^{2}}$

Etapa 12.7.6

Reescreva ${\sqrt{43}}^{2}$ como $43$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{43}$ como $43^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{43}}{{(43^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 12.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{43}}{43^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 12.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{43}}{43^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 12.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{43}}{43^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 12.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{43}}{43^{1}}$

Etapa 12.7.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{43}}{43}$

Etapa 12.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.8.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{22 \cdot 43}}{43}$

Etapa 12.8.2

Multiplique $22$ por $43$ .

$\frac{\sqrt{946}}{43}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{946}}{43}$

Forma decimal:

$0.71528169 \dots$