Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - \ln ({(x)}^{x})$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Etapa 1.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 8} {(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(x + 1)}^{x}$ como $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ .

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({(x + 1)}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o limite para o expoente.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Etapa 3.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Etapa 3.6

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} {(x)}^{x})$

Etapa 4

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 4.1

Reescreva ${(x)}^{x}$ como $e^{\ln ({(x)}^{x})}$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x)}^{x})})$

Etapa 4.2

Expanda $\ln ({(x)}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x)})$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o limite para o expoente.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x)})$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Etapa 5.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Etapa 6.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Etapa 6.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (8)})$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}}{e^{8 \cdot \ln (8)}})$

Etapa 7.2

Mova $e^{8 \cdot \ln (8)}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} e^{- 8 \cdot \ln (8)})$

Etapa 7.3

Multiplique $e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}$ por $e^{- 8 \cdot \ln (8)}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)})$

Etapa 7.3.2

Some $8$ e $1$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (9) - 8 \cdot \ln (8)})$

Etapa 7.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.3.1

Simplifique $8 \ln (9)$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$\ln (e^{\ln (9^{8}) - 8 \cdot \ln (8)})$

Etapa 7.3.3.2

Eleve $9$ à potência de $8$ .

$\ln (e^{\ln (43046721) - 8 \cdot \ln (8)})$

Etapa 7.3.3.3

Simplifique $- 8 \ln (8)$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (8^{8})})$

Etapa 7.3.3.4

Eleve $8$ à potência de $8$ .

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (16777216)})$

Etapa 7.3.4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (e^{\ln (\frac{43046721}{16777216})})$

Etapa 7.4

Use as regras logarítmicas para mover $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ para fora do expoente.

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \ln (e)$

Etapa 7.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \cdot 1$

Etapa 7.6

Multiplique $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ por $1$ .

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

Forma decimal:

$0.94226428 \dots$