Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{64}{x} - 8}{8 - x}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $- 8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{64}{x} - 8 \cdot \frac{x}{x}}{8 - x}$

Etapa 1.2

Combine $- 8$ e $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{64}{x} + \frac{- 8 x}{x}}{8 - x}$

Etapa 1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{64 - 8 x}{x}}{8 - x}$

Etapa 2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 8} \frac{64 - 8 x}{x} \cdot \frac{1}{8 - x}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{64 - 8 x}{x}$ por $\frac{1}{8 - x}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{64 - 8 x}{x (8 - x)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 8} 64 - 8 x}{lim_{x \to 8} x (8 - x)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 64 - lim_{x \to 8} 8 x}{lim_{x \to 8} x (8 - x)}$

Etapa 3.1.2.1.2

Avalie o limite de $64$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{64 - lim_{x \to 8} 8 x}{lim_{x \to 8} x (8 - x)}$

Etapa 3.1.2.1.3

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{64 - 8 lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x (8 - x)}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{64 - 8 \cdot 8}{lim_{x \to 8} x (8 - x)}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $- 8$ por $8$ .

$\frac{64 - 64}{lim_{x \to 8} x (8 - x)}$

Etapa 3.1.2.3.2

Subtraia $64$ de $64$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x (8 - x)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} 8 - x}$

Etapa 3.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x \cdot (lim_{x \to 8} 8 - lim_{x \to 8} x)}$

Etapa 3.1.3.3

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x \cdot (8 - lim_{x \to 8} x)}$

Etapa 3.1.3.4

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{0}{8 \cdot (8 - lim_{x \to 8} x)}$

Etapa 3.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{0}{8 \cdot (8 - 8)}$

Etapa 3.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.5.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{0}{8 \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.5.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 8} \frac{64 - 8 x}{x (8 - x)} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [64 - 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (8 - x)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [64 - 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (8 - x)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $64 - 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (8 - x)]}$

Etapa 3.3.3

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (8 - x)]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{0 - 8 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (8 - x)]}$

Etapa 3.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{0 - 8 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (8 - x)]}$

Etapa 3.3.4.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{0 - 8}{\frac{d}{d x} [x (8 - x)]}$

Etapa 3.3.5

Subtraia $8$ de $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- 8}{\frac{d}{d x} [x (8 - x)]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 8 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- 8}{x \frac{d}{d x} [8 - x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- 8}{x (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.8

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- 8}{x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- 8}{x \frac{d}{d x} [- x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- 8}{x (- \frac{d}{d x} [x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- 8}{x (- 1 \cdot 1) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- 8}{x \cdot - 1 + (8 - x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.13

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- 8}{- 1 \cdot x + (8 - x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.14

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- 8}{- x + (8 - x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- 8}{- x + (8 - x) \cdot 1}$

Etapa 3.3.16

Multiplique $8 - x$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- 8}{- x + 8 - x}$

Etapa 3.3.17

Subtraia $x$ de $- x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- 8}{- 2 x + 8}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $- 8$ e $- 2 x + 8$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$lim_{x \to 8} \frac{2 (- 4)}{- 2 x + 8}$

Etapa 3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{2 (- 4)}{2 (- x) + 8}$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $2$ de $8$ .

$lim_{x \to 8} \frac{2 \cdot - 4}{2 (- x) + 2 \cdot 4}$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$lim_{x \to 8} \frac{2 (- 4)}{2 (- x + 4)}$

Etapa 3.4.2.4

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 8} \frac{2 \cdot - 4}{2 (- x + 4)}$

Etapa 3.4.2.5

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 8} \frac{- 4}{- x + 4}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $- 4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 4 lim_{x \to 8} \frac{1}{- x + 4}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$- 4 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} - x + 4}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$- 4 \frac{1}{lim_{x \to 8} - x + 4}$

Etapa 4.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$- 4 \frac{1}{- lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 4}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$- 4 \frac{1}{- lim_{x \to 8} x + 4}$

Etapa 4.6

Simplifique os termos.

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Etapa 4.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$- 4 \frac{1}{- 8 + 4}$

Etapa 4.6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.6.2.1

Some $- 8$ e $4$ .

$- 4 (\frac{1}{- 4})$

Etapa 4.6.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.6.2.2.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{1}{- 4}$

Etapa 4.6.2.2.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 4.6.2.2.3

Cancele o fator comum.

$4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 4.6.2.2.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{- 1}$

Etapa 4.6.2.3

Divida $1$ por $- 1$ .

$- - 1$

Etapa 4.6.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1$