Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{x - x \sqrt{x}}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - x \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Etapa 4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

Etapa 6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

Etapa 7

Mova o expoente $\frac{3}{2}$ de $x^{\frac{3}{2}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

Etapa 8

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5}$

Etapa 9

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Etapa 10

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 10.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{8 - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Etapa 10.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Etapa 10.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{8}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Etapa 10.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Etapa 10.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 11.1.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Etapa 11.1.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Etapa 11.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{8 - 8 \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Etapa 11.1.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Etapa 11.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.2.1

Multiplique $2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 11.2.1.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 11.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Etapa 11.2.1.2.2

Multiplique $3 (\frac{3}{2})$ .

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Etapa 11.2.1.2.2.1

Combine $3$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Etapa 11.2.1.2.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Etapa 11.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{1 + \frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Etapa 11.2.1.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Etapa 11.2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{2 + 9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Etapa 11.2.1.6

Some $2$ e $9$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Etapa 11.2.2

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 24 - 1 \cdot 5}$

Etapa 11.2.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 24 - 5}$

Etapa 11.2.4

Subtraia $5$ de $24$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Forma decimal:

$- 0.22764695 \dots$