Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 9} \frac{x^{9} - x^{x}}{x - 9}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 9} x^{9} - x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x^{9} - lim_{x \to 9} x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $9$ de $x^{9}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1.2.2.1

Reescreva $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} e^{\ln (x^{x})}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.2.2

Expanda $\ln (x^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.3

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.3.1

Mova o limite para o expoente.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.3.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $9$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{9 \cdot \ln (9)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

Eleve $9$ à potência de $9$ .

$\frac{387420489 - e^{9 \cdot \ln (9)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

Simplifique $9 \cdot \ln (9)$ movendo $9$ para dentro do logaritmo.

$\frac{387420489 - e^{\ln (9^{9})}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.5.1.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{387420489 - 9^{9}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.5.1.4

Eleve $9$ à potência de $9$ .

$\frac{387420489 - 1 \cdot 387420489}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $387420489$ .

$\frac{387420489 - 387420489}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.5.2

Subtraia $387420489$ de $387420489$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 9} \frac{x^{9} - x^{x}}{x - 9} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9} - x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9} - x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{9} - x^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x^{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} + \frac{d}{d x} [- x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{x}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.3.4.2.1

Reescreva $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.2.2

Expanda $\ln (x^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (x)$ .

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Etapa 1.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.7

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.8

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.4.8.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.8.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.9

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

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Etapa 1.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \cdot 1 - e^{x \ln (x)} \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} - e^{x \ln (x)} \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.5.3

Reordene os termos.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1}$

Etapa 1.4

Divida $9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} 9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$lim_{x \to 9} 9 x^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Etapa 2.2

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$9 lim_{x \to 9} x^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Etapa 2.3

Mova o expoente $8$ de $x^{8}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Etapa 2.5

Mova o limite para o expoente.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Etapa 2.7

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Etapa 2.8

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Etapa 2.9

Mova o limite para o expoente.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)}$

Etapa 2.10

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)}$

Etapa 2.11

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $9$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Etapa 3.6

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $9$ por $9^{8}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.1.1

Multiplique $9$ por $9^{8}$ .

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Etapa 4.1.1.1.1

Eleve $9$ à potência de $1$ .

$9^{1} \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Etapa 4.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9^{1 + 8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Etapa 4.1.1.2

Some $1$ e $8$ .

$9^{9} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Etapa 4.1.2

Eleve $9$ à potência de $9$ .

$387420489 - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Etapa 4.1.3

Simplifique $9 \cdot \ln (9)$ movendo $9$ para dentro do logaritmo.

$387420489 - e^{\ln (9^{9})} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Etapa 4.1.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$387420489 - 9^{9} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Etapa 4.1.5

Eleve $9$ à potência de $9$ .

$387420489 - 1 \cdot 387420489 \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 1$ por $387420489$ .

$387420489 - 387420489 \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Etapa 4.1.7

Simplifique $9 \cdot \ln (9)$ movendo $9$ para dentro do logaritmo.

$387420489 - 387420489 \ln (9) - e^{\ln (9^{9})}$

Etapa 4.1.8

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 9^{9}$

Etapa 4.1.9

Eleve $9$ à potência de $9$ .

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 1 \cdot 387420489$

Etapa 4.1.10

Multiplique $- 1$ por $387420489$ .

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 387420489$

Etapa 4.2

Subtraia $387420489$ de $387420489$ .

$0 - 387420489 \ln (9)$

Etapa 4.3

Subtraia $387420489 \ln (9)$ de $0$ .

$- 387420489 \ln (9)$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 387420489 \ln (9)$

Forma decimal:

$- 851249820.194417$