Cálculo Exemplos

$lim_{x \to a} \frac{x^{n} - a^{n}}{x - a}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to a} x^{n} - a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $a$ .

$\frac{lim_{x \to a} x^{n} - lim_{x \to a} a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $n$ de $x^{n}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{n} - lim_{x \to a} a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $a^{n}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $a$ .

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{n} - a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $a$ por $x$ .

$\frac{a^{n} - a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Etapa 1.1.2.3

Subtraia $a^{n}$ de $a^{n}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to a} x - a}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $a$ .

$\frac{0}{lim_{x \to a} x - lim_{x \to a} a}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $a$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $a$ .

$\frac{0}{lim_{x \to a} x - a}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $a$ por $x$ .

$\frac{0}{a - a}$

Etapa 1.1.3.3

Subtraia $a$ de $a$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to a} \frac{x^{n} - a^{n}}{x - a} = lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{n} - a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{n} - a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{n} - a^{n}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{n}] + \frac{d}{d x} [- a^{n}]$ .

$lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{n}] + \frac{d}{d x} [- a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = n$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1} + \frac{d}{d x} [- a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Etapa 1.3.4

Como $- a^{n}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- a^{n}$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1} + 0}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

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Etapa 1.3.5.1

Some $n x^{n - 1}$ e $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Etapa 1.3.5.2

Reordene os fatores de $n x^{n - 1}$ .

$lim_{x \to a} \frac{x^{n - 1} n}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Etapa 1.3.5.3

Reordene os fatores em $x^{n - 1} n$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - a$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{1 + \frac{d}{d x} [- a]}$

Etapa 1.3.8

Como $- a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- a$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{1 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{1}$

Etapa 1.4

Divida $n x^{n - 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to a} n x^{n - 1}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $n$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$n lim_{x \to a} x^{n - 1}$

Etapa 2.2

Mova o expoente $n - 1$ de $x^{n - 1}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$n {(lim_{x \to a} x)}^{n - 1}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $a$ por $x$ .

$n a^{n - 1}$