Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 9999} {(1 + x^{- 1})}^{x}$

Etapa 1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9999} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$

Etapa 1.2

Combine os termos.

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Etapa 1.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to 9999} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x}$

Etapa 1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 9999} {(\frac{x + 1}{x})}^{x}$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(\frac{x + 1}{x})}^{x}$ como $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 9999} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 9999} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 9999} x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9999$ .

$e^{lim_{x \to 9999} x \cdot lim_{x \to 9999} \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Etapa 3.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{lim_{x \to 9999} x \cdot \ln (lim_{x \to 9999} \frac{x + 1}{x})}$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9999$ .

$e^{lim_{x \to 9999} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 9999} x + 1}{lim_{x \to 9999} x})}$

Etapa 3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9999$ .

$e^{lim_{x \to 9999} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 9999} x + lim_{x \to 9999} 1}{lim_{x \to 9999} x})}$

Etapa 3.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9999$ .

$e^{lim_{x \to 9999} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 9999} x + 1}{lim_{x \to 9999} x})}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $9999$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $9999$ por $x$ .

$e^{9999 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 9999} x + 1}{lim_{x \to 9999} x})}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9999$ por $x$ .

$e^{9999 \cdot \ln (\frac{9999 + 1}{lim_{x \to 9999} x})}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $9999$ por $x$ .

$e^{9999 \cdot \ln (\frac{9999 + 1}{9999})}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique $9999 \cdot \ln (\frac{9999 + 1}{9999})$ movendo $9999$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln ({(\frac{9999 + 1}{9999})}^{9999})}$

Etapa 5.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(\frac{9999 + 1}{9999})}^{9999}$

Etapa 5.3

Some $9999$ e $1$ .

${(\frac{10000}{9999})}^{9999}$

Etapa 5.4

Aplique a regra do produto a $\frac{10000}{9999}$ .

$\frac{10000^{9999}}{9999^{9999}}$