Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\tan (3 x)}$

Etapa 1

Aplique identidades trigonométricas.

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Etapa 1.1

Reescreva $\tan (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Etapa 1.2

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Etapa 1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$lim_{x \to 90} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Etapa 1.4.2

Converta de $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ em $\cot (3 x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cot (3 x)$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $90$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot lim_{x \to 90} \cot (3 x)$

Etapa 2.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (lim_{x \to 90} 3 x)$

Etapa 2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 lim_{x \to 90} x)$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $90$ por $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Etapa 4

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

Etapa 5

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\tan (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $90$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

Etapa 6

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $90$ , os valores da função se aproximam de $- 1.995$ . Portanto, o limite de $\tan (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $90$ a partir da esquerda é $- 1.995$ .

$- 1.995$

Etapa 7

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

Etapa 8

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\tan (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $90$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

Etapa 9

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $90$ , os valores da função se aproximam de $- 1.995$ . Portanto, o limite de $\tan (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $90$ a partir da direita é $- 1.995$ .

$- 1.995 \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Multiplique $3$ por $90$ .

$- 1.995 \cdot \cot (270)$

Etapa 10.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 1.995 \cdot \cot (90)$

Etapa 10.3

O valor exato de $\cot (90)$ é $0$ .

$- 1.995 \cdot 0$

Etapa 10.4

Multiplique $- 1.995$ por $0$ .

$0$