Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 90} \frac{\sec (x)}{\cot (x)}$

Etapa 1

Aplique identidades trigonométricas.

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Etapa 1.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 90} \frac{\sec (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 1.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 90} \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 1.4.2

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \tan (x)$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $90$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \cdot lim_{x \to 90} \tan (x)$

Etapa 3

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 90^{-}} \sec (x)$

Etapa 4

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\sec (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $90$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \sec (x) \\ 89.9 & - 2.80438537 \\ 89.99 & - 2.27732646 \\ 89.999 & - 2.23623899 \\ 89.9999 & - 2.23222151 \\ 89.99999 & - 2.23182065 \end{array}$

Etapa 5

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $90$ , os valores da função se aproximam de $- 2.232$ . Portanto, o limite de $\sec (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $90$ a partir da esquerda é $- 2.232$ .

$- 2.232$

Etapa 6

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 90^{+}} \sec (x)$

Etapa 7

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\sec (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $90$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \sec (x) \\ 90.1 & - 1.86885896 \\ 90.01 & - 2.18822675 \\ 90.001 & - 2.22733326 \\ 90.0001 & - 2.23133094 \\ 90.00001 & - 2.2317316 \\ 90.000001 & - 2.23177167 \end{array}$

Etapa 8

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $90$ , os valores da função se aproximam de $- 2.232$ . Portanto, o limite de $\sec (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $90$ a partir da direita é $- 2.232$ .

$- 2.232 \cdot lim_{x \to 90} \tan (x)$

Etapa 9

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

Etapa 10

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\tan (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $90$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

Etapa 11

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $90$ , os valores da função se aproximam de $- 1.995$ . Portanto, o limite de $\tan (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $90$ a partir da esquerda é $- 1.995$ .

$- 1.995$

Etapa 12

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

Etapa 13

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\tan (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $90$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

Etapa 14

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $90$ , os valores da função se aproximam de $- 1.995$ . Portanto, o limite de $\tan (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $90$ a partir da direita é $- 1.995$ .

$- 2.232 \cdot - 1.995$

Etapa 15

Multiplique $- 2.232$ por $- 1.995$ .

$4.45284$