Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3

À medida que $x$ se aproxima de $\infty$ dos radicais, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}$

Etapa 1.3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Etapa 1.3.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 1.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 1.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}$

Etapa 1.3.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}$

Etapa 1.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3.10

Simplifique.

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Etapa 1.3.10.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.10.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.5

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (2 \sqrt{x})$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

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Etapa 1.6.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \sqrt{x}$

Etapa 1.6.2

Combine $\frac{2}{x}$ e $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x}$

Etapa 2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 3.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $\infty$ dos radicais, o valor chega a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 3.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.9

Simplifique.

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Etapa 3.3.9.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.9.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 3.5

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Etapa 3.6

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Etapa 4

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{\sqrt{x}}$ se aproxima de $0$ .

$2 (\frac{1}{2}) \cdot 0$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1}{2}) \cdot 0$

Etapa 6.1.2

Reescreva a expressão.

$1 \cdot 0$

Etapa 6.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$0$