Cálculo Exemplos

$\frac{lim_{x \to \infty} (\frac{d}{d x}) (\ln (x))}{x^{- 1}}$

Etapa 1

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1

Cancele o fator comum de $d$ .

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Etapa 1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{d}{d x} \ln (x)}{x^{- 1}}$

Etapa 1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (x)}{x^{- 1}}$

Etapa 1.2

Combine $\frac{1}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x}}{x^{- 1}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x}}{x^{- 1}}$

Etapa 2.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}{x^{- 1}}$

Etapa 2.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\frac{\infty}{\infty}}{x^{- 1}}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\frac{\infty}{\infty}}{x^{- 1}}$

Etapa 2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}{x^{- 1}}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}{x^{- 1}}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}}{x^{- 1}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot 1}{x^{- 1}}$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{x^{- 1}}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{x^{- 1}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Mova $x^{- 1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$0 x$

Etapa 4.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$0$