Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{\ln (x)}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva $x^{\frac{1}{\ln (x)}}$ como $e^{\ln (x^{\frac{1}{\ln (x)}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln (x^{\frac{1}{\ln (x)}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln (x^{\frac{1}{\ln (x)}})$ movendo $\frac{1}{\ln (x)}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{\ln (x)} \ln (x)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\ln (x)} \ln (x)}$

Etapa 2.2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{1}{\ln (x)}$ e $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\ln (x)}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (x)$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\ln (x)}}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{1}$

Etapa 3

Simplifique.

$e$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e$

Forma decimal:

$2.71828182 \dots$