Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln ({(x)}^{2})}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 1.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 1.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln ({(x)}^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln ({(x)}^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x)}^{2}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como ${(x)}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por ${(x)}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

Combine $\frac{2}{x^{2}}$ e $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 1.3.6.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.6.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \cdot 1$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}$

Etapa 2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$2 \cdot 0$

Etapa 4

Multiplique $2$ por $0$ .

$0$