Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \cos (\frac{π}{x})$

Etapa 1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\cos (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Etapa 1.2

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\cos (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Etapa 1.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\cos (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Etapa 1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\cos (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Etapa 2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\cos (π \frac{1}{8})$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $π$ e $\frac{1}{8}$ .

$\cos (\frac{π}{8})$

Etapa 3.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Reescreva $\frac{π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Etapa 3.2.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Etapa 3.2.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Etapa 3.2.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 3.2.5

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 3.2.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 3.2.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 3.2.5.4

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.4.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Etapa 3.2.5.5

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 3.2.5.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 3.2.5.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Forma decimal:

$0.92387953 \dots$