Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{3}}{9 - x}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{1}{\sqrt{x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{9 - x}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{9 - x}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\sqrt{x} \cdot 3$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{3}{\sqrt{x} \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{9 - x}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{3}{\sqrt{x} \cdot 3} - \frac{\sqrt{x}}{3 \sqrt{x}}}{9 - x}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $\sqrt{x} \cdot 3$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{3}{3 \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{3 \sqrt{x}}}{9 - x}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{3 - \sqrt{x}}{3 \sqrt{x}}}{9 - x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{3 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{9 - x}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{3 - \sqrt{x}}{3 \sqrt{x}}$ por $\frac{1}{9 - x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{3 \sqrt{x} (9 - x)}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} (9 - x)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 3 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} (9 - x)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} (9 - x)}$

Etapa 3.1.2.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} (9 - x)}$

Etapa 3.1.2.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} (9 - x)}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} (9 - x)}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.3.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} (9 - x)}$

Etapa 3.1.2.3.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} (9 - x)}$

Etapa 3.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} (9 - x)}$

Etapa 3.1.2.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} (9 - x)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 9} 9 - x}$

Etapa 3.1.3.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9} x} \cdot lim_{x \to 9} 9 - x}$

Etapa 3.1.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9} x} \cdot (lim_{x \to 9} 9 - lim_{x \to 9} x)}$

Etapa 3.1.3.4

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9} x} \cdot (9 - lim_{x \to 9} x)}$

Etapa 3.1.3.5

Avalie os limites substituindo $9$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{9} \cdot (9 - lim_{x \to 9} x)}$

Etapa 3.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{9} \cdot (9 - 9)}$

Etapa 3.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.6.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{3^{2}} \cdot (9 - 9)}$

Etapa 3.1.3.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot (9 - 9)}$

Etapa 3.1.3.6.3

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.6.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.6.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} (9 - x)} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - \sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.4.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.4.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.4.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.4.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.4.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.5

Subtraia $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.6

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (9 - x)]}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 9 - x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x] + (9 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]) + (9 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.9

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (9 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- x] + (9 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x] + (9 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \cdot 1 + (9 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + (9 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.14

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} + (9 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.15

Reescreva $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ como $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + (9 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + (9 - x) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}$

Etapa 3.3.17

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + (9 - x) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.18

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + (9 - x) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 3.3.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + (9 - x) \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 3.3.20

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.20.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + (9 - x) \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}$

Etapa 3.3.20.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + (9 - x) \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}$

Etapa 3.3.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + (9 - x) \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.22

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + (9 - x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 3.3.23

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + (9 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.24

Simplifique.

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Etapa 3.3.24.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.24.2

Combine os termos.

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Etapa 3.3.24.2.1

Combine $9$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.24.2.2

Combine $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.24.2.3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 3.3.24.2.4

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.24.2.4.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.3.24.2.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 3.3.24.2.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 3.3.24.2.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 3.3.24.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}}$

Etapa 3.3.24.2.4.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 3.3.24.2.5

Para escrever $- x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.24.2.6

Combine $- x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.24.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.24.2.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.24.2.9

Subtraia $x^{\frac{1}{2}}$ de $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.24.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.24.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 3.5

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 3.5.1

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 3.5.2

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{9}{2 \sqrt{x}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 3.5.3

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{9}{2 \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x}}{2}}$

Etapa 3.6

Multiplique $\frac{1}{\frac{9}{2 \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x}}{2}}$ por $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} - \frac{1}{(\frac{9}{2 \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x}}{2}) \cdot 2 \sqrt{x}}$

Etapa 3.7

Combine os termos.

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Etapa 3.7.1

Para escrever $- \frac{3 \sqrt{x}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} - \frac{1}{(\frac{9}{2 \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) \cdot 2 \sqrt{x}}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} - \frac{1}{(\frac{9}{2 \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}) \cdot 2 \sqrt{x}}$

Etapa 3.7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} - \frac{1}{\frac{9 - 3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} \cdot 2 \sqrt{x}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 lim_{x \to 9} \frac{1}{\frac{9 - 3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} \cdot 2 \sqrt{x}}$

Etapa 4.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 9} \frac{1}{\frac{9 - 3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} \sqrt{x}}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} \frac{9 - 3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} \sqrt{x}}$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{lim_{x \to 9} \frac{9 - 3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} \sqrt{x}}$

Etapa 4.5

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{lim_{x \to 9} \frac{9 - 3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 4.6

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 9} \frac{9 - 3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 4.7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 9 - 3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 4.8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 9 - lim_{x \to 9} 3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 4.9

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - lim_{x \to 9} 3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 4.10

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 3 lim_{x \to 9} \sqrt{x} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 4.11

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 3 lim_{x \to 9} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 4.12

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 4.13

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 4.14

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}} \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 4.15

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $9$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 3 \sqrt{9} \cdot \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 3 \sqrt{9} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 3 \sqrt{9} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Etapa 5.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 3 \sqrt{9} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{9}}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $\frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $\frac{1}{2}$ de $\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot - 1) \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 3 \sqrt{9} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{9}}$

Etapa 6.1.2

Fatore $\frac{1}{2}$ de $\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 3 \sqrt{9} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{9}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot - 1) \frac{1}{\frac{1}{2} (\frac{9 - 3 \sqrt{9} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{9})}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot - 1) \frac{1}{\frac{1}{2} (\frac{9 - 3 \sqrt{9} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{9})}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{\frac{9 - 3 \sqrt{9} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{9}}$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{9 - 3 \sqrt{9} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{9}}$

Etapa 6.3

Eleve $\sqrt{9}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{9 - 3 ({\sqrt{9}}^{1} \sqrt{9})}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{9}}$

Etapa 6.4

Eleve $\sqrt{9}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{9 - 3 ({\sqrt{9}}^{1} {\sqrt{9}}^{1})}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{9}}$

Etapa 6.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{9 - 3 {\sqrt{9}}^{1 + 1}}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{9}}$

Etapa 6.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{9 - 3 {\sqrt{9}}^{2}}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{9}}$

Etapa 6.7

Combine $\frac{9 - 3 {\sqrt{9}}^{2}}{\sqrt{9}}$ e $\sqrt{9}$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{(9 - 3 {\sqrt{9}}^{2}) \sqrt{9}}{\sqrt{9}}}$

Etapa 6.8

Multiplique $\frac{- 1}{3}$ por $\frac{1}{\frac{(9 - 3 {\sqrt{9}}^{2}) \sqrt{9}}{\sqrt{9}}}$ .

$\frac{- 1}{3 \frac{(9 - 3 {\sqrt{9}}^{2}) \sqrt{9}}{\sqrt{9}}}$

Etapa 6.9

Combine $3$ e $\frac{(9 - 3 {\sqrt{9}}^{2}) \sqrt{9}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{- 1}{\frac{3 ((9 - 3 {\sqrt{9}}^{2}) \sqrt{9})}{\sqrt{9}}}$

Etapa 6.10

Cancele o fator comum de $\sqrt{9}$ .

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Etapa 6.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{\frac{3 ((9 - 3 {\sqrt{9}}^{2}) \sqrt{9})}{\sqrt{9}}}$

Etapa 6.10.2

Divida $3 (9 - 3 {\sqrt{9}}^{2})$ por $1$ .

$\frac{- 1}{3 (9 - 3 {\sqrt{9}}^{2})}$

Etapa 6.11

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.11.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{- 1}{3 (9 - 3 {\sqrt{3^{2}}}^{2})}$

Etapa 6.11.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{- 1}{3 (9 - 3 \cdot 3^{2})}$

Etapa 6.11.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{- 1}{3 (9 - 3 \cdot 9)}$

Etapa 6.11.4

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$\frac{- 1}{3 (9 - 27)}$

Etapa 6.11.5

Subtraia $27$ de $9$ .

$\frac{- 1}{3 \cdot - 18}$

Etapa 6.12

Multiplique $3$ por $- 18$ .

$\frac{- 1}{- 54}$

Etapa 6.13

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{1}{54}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{54}$

Forma decimal:

$0.0\overline{185}$