Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (x)}{\sqrt[5]{x}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (x)}{lim_{x \to 8} \sqrt[5]{x}}$

Etapa 2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt[5]{x}}$

Etapa 3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{\sqrt[5]{lim_{x \to 8} x}}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{lim_{x \to 8} x}}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Etapa 5.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Etapa 5.2.2

Eleve $\sqrt[5]{8}$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Etapa 5.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Etapa 5.2.4

Some $1$ e $4$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Etapa 5.2.5

Reescreva ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ como $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{8}$ como $8^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Etapa 5.2.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Etapa 5.2.5.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Etapa 5.2.5.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Etapa 5.2.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Etapa 5.2.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Reescreva ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ como $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Etapa 5.3.2

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{4096}}{8}$

Etapa 5.3.3

Reescreva $4096$ como $4^{5} \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $1024$ de $4096$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva $1024$ como $4^{5}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Etapa 5.3.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{\ln (8) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (8)$ como $\ln (2^{3})$ .

$\frac{\ln (2^{3}) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Etapa 5.5

Expanda $\ln (2^{3})$ movendo $3$ para fora do logaritmo.

$\frac{3 \ln (2) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Etapa 5.6

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Fatore $4$ de $3 \ln (2) \cdot 4 \sqrt[5]{4}$ .

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{8}$

Etapa 5.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \ln (2) \sqrt[5]{4}}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3 \ln (2) \sqrt[5]{4}}{2}$

Forma decimal:

$1.37191978 \dots$