Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 8} \frac{80}{e^{x} - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Mova o termo $80$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$80 lim_{x \to - 8} \frac{1}{e^{x} - 1}$

Etapa 1.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 8$ .

$80 \frac{lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 1}$

Etapa 1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 8$ .

$80 \frac{1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 1}$

Etapa 1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 8$ .

$80 \frac{1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 1}$

Etapa 1.5

Mova o limite para o expoente.

$80 \frac{1}{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 1}$

Etapa 1.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 8$ .

$80 \frac{1}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 1 \cdot 1}$

Etapa 2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 8$ por $x$ .

$80 \frac{1}{e^{- 8} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1.1

Reescreva $e^{- 8}$ como ${(e^{- 4})}^{2}$ .

$80 \frac{1}{{(e^{- 4})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$80 \frac{1}{{(e^{- 4})}^{2} - 1^{2}}$

Etapa 3.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = e^{- 4}$ e $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(e^{- 4} + 1) (e^{- 4} - 1)}$

Etapa 3.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) (e^{- 4} - 1)}$

Etapa 3.1.4.2

Reescreva $e^{- 4}$ como ${(e^{- 2})}^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ({(e^{- 2})}^{2} - 1)}$

Etapa 3.1.4.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ({(e^{- 2})}^{2} - 1^{2})}$

Etapa 3.1.4.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = e^{- 2}$ e $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((e^{- 2} + 1) (e^{- 2} - 1))}$

Etapa 3.1.4.5

Simplifique.

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Etapa 3.1.4.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) (e^{- 2} - 1))}$

Etapa 3.1.4.5.2

Reescreva $e^{- 2}$ como ${(e^{- 1})}^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ({(e^{- 1})}^{2} - 1))}$

Etapa 3.1.4.5.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ({(e^{- 1})}^{2} - 1^{2}))}$

Etapa 3.1.4.5.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = e^{- 1}$ e $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((e^{- 1} + 1) (e^{- 1} - 1)))}$

Etapa 3.1.4.5.5

Simplifique.

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Etapa 3.1.4.5.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((\frac{1}{e} + 1) (e^{- 1} - 1)))}$

Etapa 3.1.4.5.5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)))}$

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1))}$

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Etapa 3.1.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + \frac{e^{4}}{e^{4}}) (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Etapa 3.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Etapa 3.1.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} (\frac{1}{e^{2}} + \frac{e^{2}}{e^{2}}) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Etapa 3.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Etapa 3.1.9

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} (\frac{1}{e} + \frac{e}{e}) (\frac{1}{e} - 1)}$

Etapa 3.1.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} - 1)}$

Etapa 3.1.11

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} - 1 \cdot \frac{e}{e})}$

Etapa 3.1.12

Combine $- 1$ e $\frac{e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} + \frac{- e}{e})}$

Etapa 3.1.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Etapa 3.1.14

Combine expoentes.

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Etapa 3.1.14.1

Multiplique $\frac{1 + e^{4}}{e^{4}}$ por $\frac{1 + e^{2}}{e^{2}}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{4} e^{2}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Etapa 3.1.14.2

Multiplique $e^{4}$ por $e^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.14.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{4 + 2}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Etapa 3.1.14.2.2

Some $4$ e $2$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{6}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Etapa 3.1.14.3

Multiplique $\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{6}}$ por $\frac{1 + e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6} e} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Etapa 3.1.14.4

Multiplique $e^{6}$ por $e$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.14.4.1

Multiplique $e^{6}$ por $e$ .

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Etapa 3.1.14.4.1.1

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6} e^{1}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Etapa 3.1.14.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6 + 1}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Etapa 3.1.14.4.2

Some $6$ e $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{7}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Etapa 3.1.14.5

Multiplique $\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{7}}$ por $\frac{1 - e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7} e}}$

Etapa 3.1.14.6

Multiplique $e^{7}$ por $e$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.14.6.1

Multiplique $e^{7}$ por $e$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.14.6.1.1

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7} e^{1}}}$

Etapa 3.1.14.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7 + 1}}}$

Etapa 3.1.14.6.2

Some $7$ e $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{8}}}$

Etapa 3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$80 (1 \frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)})$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$ por $1$ .

$80 \frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Etapa 3.4

Combine $80$ e $\frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$ .

$\frac{80 e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{80 e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Forma decimal:

$- 80.02684601 \dots$