Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Etapa 1

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - 5 x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Etapa 4

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt{\frac{12 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Etapa 5

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Etapa 6

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Etapa 7

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Etapa 9

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Etapa 10

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Etapa 11

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Etapa 12

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 8} x^{3}}}$

Etapa 13

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Etapa 14

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 14.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Etapa 14.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Etapa 14.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Etapa 14.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Etapa 15

Simplifique a resposta.

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Etapa 15.1

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 512 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Etapa 15.2

Multiplique $12$ por $512$ .

$\sqrt{\frac{6144 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Etapa 15.3

Multiplique $- 5$ por $8$ .

$\sqrt{\frac{6144 - 40 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Etapa 15.4

Subtraia $40$ de $6144$ .

$\sqrt{\frac{6104 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Etapa 15.5

Some $6104$ e $7$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Etapa 15.6

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 64 + 3 \cdot 8^{3}}}$

Etapa 15.7

Multiplique $4$ por $64$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 8^{3}}}$

Etapa 15.8

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 512}}$

Etapa 15.9

Multiplique $3$ por $512$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 1536}}$

Etapa 15.10

Some $1$ e $256$ .

$\sqrt{\frac{6111}{257 + 1536}}$

Etapa 15.11

Some $257$ e $1536$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1793}}$

Etapa 15.12

Reescreva $\sqrt{\frac{6111}{1793}}$ como $\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$

Etapa 15.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.13.1

Reescreva $6111$ como $3^{2} \cdot 679$ .

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Etapa 15.13.1.1

Fatore $9$ de $6111$ .

$\frac{\sqrt{9 (679)}}{\sqrt{1793}}$

Etapa 15.13.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 679}}{\sqrt{1793}}$

Etapa 15.13.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$

Etapa 15.14

Multiplique $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ por $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}} \cdot \frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$

Etapa 15.15

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 15.15.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ por $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{\sqrt{1793} \sqrt{1793}}$

Etapa 15.15.2

Eleve $\sqrt{1793}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} \sqrt{1793}}$

Etapa 15.15.3

Eleve $\sqrt{1793}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} {\sqrt{1793}}^{1}}$

Etapa 15.15.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1 + 1}}$

Etapa 15.15.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{2}}$

Etapa 15.15.6

Reescreva ${\sqrt{1793}}^{2}$ como $1793$ .

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Etapa 15.15.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1793}$ como $1793^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{(1793^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 15.15.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 15.15.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 15.15.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.15.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 15.15.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{1}}$

Etapa 15.15.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793}$

Etapa 15.16

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.16.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{3 \sqrt{1793 \cdot 679}}{1793}$

Etapa 15.16.2

Multiplique $1793$ por $679$ .

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

Forma decimal:

$1.84614580 \dots$