Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{3 + 6 x + 5 x^{2}}{1 + 64 x^{2}}}$

Etapa 1

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{3 + 6 x + 5 x^{2}}{1 + 64 x^{2}}}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 3 + 6 x + 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 3 + lim_{x \to 8} 6 x + lim_{x \to 8} 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Etapa 4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + lim_{x \to 8} 6 x + lim_{x \to 8} 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Etapa 5

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Etapa 6

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Etapa 7

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 64 x^{2}}}$

Etapa 9

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + lim_{x \to 8} 64 x^{2}}}$

Etapa 10

Mova o termo $64$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 64 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Etapa 11

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Etapa 12

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 12.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 \cdot 8 + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Etapa 12.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 \cdot 8 + 5 \cdot 8^{2}}{1 + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Etapa 12.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 \cdot 8 + 5 \cdot 8^{2}}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.1

Multiplique $6$ por $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 48 + 5 \cdot 8^{2}}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Etapa 13.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 48 + 5 \cdot 64}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Etapa 13.3

Multiplique $5$ por $64$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 48 + 320}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Etapa 13.4

Some $3$ e $48$ .

$\sqrt[3]{\frac{51 + 320}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Etapa 13.5

Some $51$ e $320$ .

$\sqrt[3]{\frac{371}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Etapa 13.6

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{371}{1 + 64 \cdot 64}}$

Etapa 13.7

Multiplique $64$ por $64$ .

$\sqrt[3]{\frac{371}{1 + 4096}}$

Etapa 13.8

Some $1$ e $4096$ .

$\sqrt[3]{\frac{371}{4097}}$

Etapa 13.9

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{371}{4097}}$ como $\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$

Etapa 13.10

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}$

Etapa 13.11

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 13.11.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{\sqrt[3]{4097} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}$

Etapa 13.11.2

Eleve $\sqrt[3]{4097}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{1} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}$

Etapa 13.11.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{1 + 2}}$

Etapa 13.11.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{3}}$

Etapa 13.11.5

Reescreva ${\sqrt[3]{4097}}^{3}$ como $4097$ .

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Etapa 13.11.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4097}$ como $4097^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{(4097^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 13.11.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 13.11.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 13.11.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.11.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 13.11.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{1}}$

Etapa 13.11.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097}$

Etapa 13.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.12.1

Reescreva ${\sqrt[3]{4097}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4097^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} \sqrt[3]{4097^{2}}}{4097}$

Etapa 13.12.2

Eleve $4097$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} \sqrt[3]{16785409}}{4097}$

Etapa 13.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.13.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt[3]{371 \cdot 16785409}}{4097}$

Etapa 13.13.2

Multiplique $371$ por $16785409$ .

$\frac{\sqrt[3]{6227386739}}{4097}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt[3]{6227386739}}{4097}$

Forma decimal:

$0.44905821 \dots$