Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 1.1.3.1.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{1 - \cos (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.4

Reordene os fatores de $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.7.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Etapa 1.3.7.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Etapa 1.3.7.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Etapa 1.3.7.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

Etapa 1.3.7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.7.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}$

Etapa 1.3.7.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{0 - (- 2 \sin (2 x))}$

Etapa 1.3.7.7

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{0 + 2 \sin (2 x)}$

Etapa 1.3.8

Some $0$ e $2 \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{2 \sin (2 x)}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{2 \sin (2 x)}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x^{2})}{\sin (2 x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cos (x^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.2.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.5.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.2.5.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.2.5.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 2.1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 2.1.3.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x^{2})}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.3.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{1} x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{1} x^{1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.9

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.11

Multiplique $\cos (x^{2})$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.12

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x^{2} \sin (x^{2}) + \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.13

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.13.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x^{2} \sin (x^{2}) + \cos (x^{2})}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.13.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x^{2} \sin (x^{2}) + \cos (x^{2})}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.13.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x^{2} \sin (x^{2}) + \cos (x^{2})}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.14

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x^{2} \sin (x^{2}) + \cos (x^{2})}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 2.3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x^{2} \sin (x^{2}) + \cos (x^{2})}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Etapa 2.3.16

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x^{2} \sin (x^{2}) + \cos (x^{2})}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Etapa 2.3.17

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x^{2} \sin (x^{2}) + \cos (x^{2})}{2 \cos (2 x)}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x^{2} \sin (x^{2}) + \cos (x^{2})}{\cos (2 x)}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 2 x^{2} \sin (x^{2}) + \cos (x^{2})}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 2 x^{2} \sin (x^{2}) + lim_{x \to 0} \cos (x^{2})}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 3.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x^{2}) + lim_{x \to 0} \cos (x^{2})}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 3.5

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x^{2}) + lim_{x \to 0} \cos (x^{2})}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 3.6

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x^{2}) + lim_{x \to 0} \cos (x^{2})}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 3.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x^{2}) + lim_{x \to 0} \cos (x^{2})}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 3.8

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + lim_{x \to 0} \cos (x^{2})}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 3.9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \cos (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 3.10

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 3.11

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 3.12

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot 0^{2} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot 0^{2} \cdot \sin (0^{2}) + \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot 0^{2} \cdot \sin (0^{2}) + \cos (0^{2})}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot 0^{2} \cdot \sin (0^{2}) + \cos (0^{2})}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 \cdot \sin (0^{2}) + \cos (0^{2})}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0^{2}) + \cos (0^{2})}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0^{2})}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 0 + \cos (0^{2})}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.5

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + \cos (0^{2})}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.7

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.8

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 5.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$