Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x - \frac{π}{2}}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

Etapa 1.2

Combine $x$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

Etapa 1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

Etapa 2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \ln (\sin (x)) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

Etapa 2.2

Combine $\ln (\sin (x))$ e $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Etapa 3

Determine o limite como um valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo o valor pela variável.

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $\frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\ln (\sin (0)) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

Etapa 4.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 - π}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $π$ de $0$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

Etapa 4.3.3

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

Etapa 4.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- 1 (1) π}$

Etapa 4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$

Etapa 4.6

Como $- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$ é indefinido, o limite não existe.

$Não existe$

Etapa 5

Determine o limite como um valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Etapa 6

Avalie o valor crítico direito.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x)) \cdot 2}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Etapa 6.2

Como a função $\ln (\sin (x))$ se aproxima de $- \infty$ , a constante positiva $2$ vezes a função também se aproxima de $- \infty$ .

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Etapa 6.2.1

Considere o limite com o múltiplo constante $2$ removido.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Etapa 6.2.2

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (\sin (x))$ diminui sem limites.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Etapa 6.3

Avalie o limite.

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Etapa 6.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - lim_{x \to 0^{+}} π}$

Etapa 6.3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - lim_{x \to 0^{+}} π}$

Etapa 6.3.3

Avalie o limite de $π$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - π}$

Etapa 6.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- \infty}{2 \cdot 0 - π}$

Etapa 6.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.5.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{- \infty}{0 - π}$

Etapa 6.5.1.2

Subtraia $π$ de $0$ .

$\frac{- \infty}{- π}$

Etapa 6.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{- \infty}{π}$

Etapa 6.5.3

Infinito dividido por tudo o que é finito e diferente de zero é infinito.

$- - \infty$

Etapa 6.5.4

Uma constante diferente de zero vezes infinito é igual a infinito.

$\infty$

Etapa 7

Se um dos valores críticos unilaterais não existir, o limite não existirá.

$Não existe$