Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (4 x))}{3 x^{2}}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (4 x))}{x^{2}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (4 x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (4 x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} 4 x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (\cos (4 lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (\cos (4 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (4 x))}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (4 x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (4 x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (4 x)$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (4 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (4 x)} \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (4 x)} \cdot - 1 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4

Combine $\frac{1}{\cos (4 x)}$ e $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 4 \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.7

Combine $- 4$ e $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{2 x}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{1}{2 x}$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{1}{2 x}$ por $\frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{4 \sin (4 x)}{2 x \cos (4 x)}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 2.6.1

Fatore $2$ de $4 \sin (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \cdot 2 \sin (4 x)}{2 x \cos (4 x)}$

Etapa 2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \cdot 2 \sin (4 x)}{2 x \cos (4 x)}$

Etapa 2.6.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \sin (4 x)}{x \cos (4 x)}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x)}{x \cos (4 x)}$

Etapa 3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{x \cos (4 x)}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Etapa 4.1.2.1.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Etapa 4.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Etapa 4.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Etapa 4.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Etapa 4.1.3.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0 \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0 \cdot \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.3.5.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

Etapa 4.1.3.5.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.5.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.5.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{x \cos (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Etapa 4.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Etapa 4.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cdot 4}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Etapa 4.3.6

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (4 x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Etapa 4.3.7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (4 x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (4 x)] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 4.3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.8.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 1 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.10

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) \cdot 1 + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.12

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) + \cos (4 x) \cdot 1}$

Etapa 4.3.14

Multiplique $\cos (4 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Etapa 4.3.15

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{- 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{- 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Etapa 5.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Etapa 5.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Etapa 5.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 4 x \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Etapa 5.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Etapa 5.7

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Etapa 5.8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Etapa 5.9

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Etapa 5.10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Etapa 5.11

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 6.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 6.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.3

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

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Etapa 7.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3} \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.5

Multiplique $- \frac{2}{3} \cdot 4$ .

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Etapa 7.5.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{2}{3}) \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.5.2

Combine $- 4$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{3} \cdot \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.5.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{- 8}{3} \cdot \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.7.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.7.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.8.1

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.8.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.8.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.8.4

Multiplique $0$ por $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 + \cos (4 \cdot 0)}$

Etapa 7.8.5

Multiplique $4$ por $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 + \cos (0)}$

Etapa 7.8.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Etapa 7.8.7

Some $0$ e $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 7.9

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 7.9.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 7.9.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{8}{3} \cdot 1$

Etapa 7.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{8}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{8}{3}$

Forma decimal:

$- 2.\overline{6}$