Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (π \cos (x))}{x \sin (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} π \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (π lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (π \cos (0))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{\sin (π \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.3.2

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{\sin (π)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.3.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.3.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.4.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (π \cos (x))}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (π \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (π \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π \cos (x)$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $π \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $π \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π \cos (x)$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) (π \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) π (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.5

Reordene os fatores de $\cos (π \cos (x)) π (- \sin (x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Etapa 1.3.9

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 2

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$π \frac{lim_{x \to 0} - \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} π \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.4

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$π \frac{- \cos (π lim_{x \to 0} \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$π \frac{- \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$π \frac{- \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$π \frac{- \cos (π \cos (0)) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$π \frac{- \cos (π \cos (0)) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.8.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$π \frac{- \cos (π \cdot 1) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.8.2

Multiplique $π$ por $1$ .

$π \frac{- \cos (π) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.8.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$π \frac{- - 1 \cos (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.8.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$π \frac{- - 1 \cdot 1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.8.5

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 3.1.2.8.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$π \frac{- - 1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.8.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$π \frac{1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.8.6

Multiplique $\sin (0)$ por $1$ .

$π \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.8.7

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.1.3.5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Etapa 3.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.6.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$π \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Etapa 3.1.3.6.1.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$π \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Etapa 3.1.3.6.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$π \frac{0}{0 + 0}$

Etapa 3.1.3.6.2

Some $0$ e $0$ .

$π \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$π \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$π \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$π \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$π lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (π \cos (x)) \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x)) \sin (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (π \cos (x))$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x))])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x))])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π \cos (x)$ .

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Etapa 3.3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $π \cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.5.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $π \cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.6

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π \cos (x)$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) π \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.7

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) π \cdot - 1 \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 \sin (π \cos (x)) π \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.9

Multiplique $\sin (π \cos (x))$ por $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (π \cos (x)) π \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.10

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.11

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.13

Some $1$ e $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.14

Simplifique.

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Etapa 3.3.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \cos (x) - \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x)) π}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.14.2

Reordene os termos.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Etapa 3.3.15

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \cos (x) + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.16

Avalie $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Etapa 3.3.16.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.16.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.16.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.16.4

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.17

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \cos (x)}$

Etapa 3.3.18

Simplifique.

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Etapa 3.3.18.1

Some $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 3.3.18.2

Reordene os termos.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$π \frac{lim_{x \to 0} - \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4.6

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π lim_{x \to 0} \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4.8

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4.9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4.10

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4.11

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4.12

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4.13

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4.14

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Etapa 4.15

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Etapa 4.16

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Etapa 4.17

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Etapa 4.18

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

Etapa 4.19

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.7

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot 1 \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π \cdot 1) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$π \frac{- 1 \cdot (- \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot (- 1 \cdot 1) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.7

Multiplique $- 1 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 6.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot - 1 - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.7.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$π \frac{1 - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.8

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$π \frac{1 - π \cdot 0^{2} \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$π \frac{1 - π \cdot 0 \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.10

Multiplique $- π \cdot 0$ .

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Etapa 6.1.10.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$π \frac{1 + 0 π \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.10.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.11

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π \cdot 1)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.12

Multiplique $π$ por $1$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.13

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.14

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot 0}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.15

Multiplique $0$ por $0$ .

$π \frac{1 + 0}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.1.16

Some $1$ e $0$ .

$π \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$π \frac{1}{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $0$ por $0$ .

$π \frac{1}{0 + 2 \cos (0)}$

Etapa 6.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$π \frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$π \frac{1}{0 + 2}$

Etapa 6.2.5

Some $0$ e $2$ .

$π \frac{1}{2}$

Etapa 6.3

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{2}$

Forma decimal:

$1.57079632 \dots$