Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} (\frac{\tan (2 x)}{x^{3}}) + \frac{2}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{\sin (x)}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x^{3}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.2.1

Multiplique $\frac{\sin (x)}{x}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x \cdot x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1} x^{2}}$

Etapa 1.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1 + 2}}$

Etapa 1.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Etapa 1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Etapa 3

Como o numerador é uma constante e o denominador se aproxima de $0$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ , a fração $\frac{2}{x^{2}}$ se aproxima do infinito.

$\infty + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Etapa 4

Como $\frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}}$ e $lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}} = \infty$ , aplique o teorema do confronto.

$\infty + \infty$

Etapa 5

Infinito mais infinito é infinito.

$\infty$