Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} - x^{2} - 3 x - 1}{1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{3 x} - x^{2} - 3 x - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{3 x} - lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{e^{3 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{3 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{3 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{3 \cdot 0} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{3 \cdot 0} - 0^{2} - 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{3 \cdot 0} - 0^{2} - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{e^{0} - 0^{2} - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.8.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 0^{2} - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.8.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1 - 0 - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.8.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1 + 0 - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.8.1.5

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{1 + 0 + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.8.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + 0 + 0 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.8.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.8.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.8.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 1.1.3.1.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} - x^{2} - 3 x - 1}{1 - \cos (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x} - x^{2} - 3 x - 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x} - x^{2} - 3 x - 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{3 x} - x^{2} - 3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.5

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 2 x - 3 + 0}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Some $3 e^{3 x} - 2 x - 3$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 2 x - 3}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.7.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.10

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Etapa 1.3.10.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.10.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.10.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Etapa 1.3.10.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Etapa 1.3.10.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Etapa 1.3.10.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

Etapa 1.3.10.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.10.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}$

Etapa 1.3.10.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{0 - (- 2 \sin (2 x))}$

Etapa 1.3.10.7

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{0 + 2 \sin (2 x)}$

Etapa 1.3.11

Some $0$ e $2 \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{2 \sin (2 x)}$

Etapa 2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{\sin (2 x)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 3 e^{3 x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3 e^{3 x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} e^{3 x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2.4

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 3 e^{lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 3 e^{3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2.6

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 3 e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 + 3 e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 + 3 e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.8.1.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2.8.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2.8.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2.8.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2.8.1.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 - 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2.8.2

Some $0$ e $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.2.8.3

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 3.1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Etapa 3.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 3.1.3.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 3 e^{3 x} - 3}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 x + 3 e^{3 x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 x + 3 e^{3 x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x + 3 e^{3 x} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 3.3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{3 x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 + 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 + 3 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 + 3 e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 + 3 e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.4.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 + 3 e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 + 3 e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.4.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 + 3 e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.4.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 + 3 \cdot 3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.4.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 + 9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.5

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 + 9 e^{3 x} + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

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Etapa 3.3.6.1

Some $- 2 + 9 e^{3 x}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 2 + 9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.6.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} - 2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} - 2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 3.3.7.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} - 2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 3.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} - 2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 3.3.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} - 2}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} - 2}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} - 2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Etapa 3.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} - 2}{2 \cos (2 x)}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} - 2}{\cos (2 x)}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 9 e^{3 x} - 2}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 9 e^{3 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 4.4

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{9 lim_{x \to 0} e^{3 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 4.5

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{9 e^{lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 4.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{9 e^{3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 4.7

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{9 e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 4.8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{9 e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 4.9

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{9 e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{9 e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 2}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{9 e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 2}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{9 e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 2}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 2}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 6.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 e^{0} - 1 \cdot 2}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 - 1 \cdot 2}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 - 2}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.5

Subtraia $2$ de $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7}{\cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 6.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7}{\cos (0)}$

Etapa 6.3.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7}{1}$

Etapa 6.4

Divida $7$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 7$

Etapa 6.5

Combine $\frac{1}{4}$ e $7$ .

$\frac{7}{4}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{7}{4}$

Forma decimal:

$1.75$