Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}}{h}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}}{h}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 {(x + h)}^{2} x^{3}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}}$ por $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 {(x + h)}^{2} x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}$ por $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 {(x + h)}^{2} x^{3}} - \frac{(x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $3 {(x + h)}^{2} x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}} - \frac{(x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}$ por $\frac{1}{h}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2} h}$

Etapa 3

Since the numerator is negative and the denominator $3 x^{3} {(x + h)}^{2} h$ approaches zero and is less than zero for $x$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$