Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{17 x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Etapa 1

Mova o termo $17$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$17 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$17 \frac{0}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$17 \frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o expoente $3$ de ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.3.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.3.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.3.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.3.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.8.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.3.8.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 0 + 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.3.8.2

Some $0$ e $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.3.8.3

Some $0$ e $1$ .

$17 \frac{0}{\ln (1^{3})}$

Etapa 2.1.3.8.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$17 \frac{0}{\ln (1)}$

Etapa 2.1.3.8.5

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$17 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.8.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$17 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$17 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$17 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$17 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Etapa 2.3.3.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

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Etapa 2.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} - 2 x + 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Etapa 2.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} - 2 x + 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Etapa 2.3.5

Combine $3$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Etapa 2.3.6

Combine ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ e $\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Etapa 2.3.7

Mova $3$ para a esquerda de ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3 \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Etapa 2.3.8

Cancele o fator comum de ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ e ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

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Etapa 2.3.8.1

Fatore ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ de $3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Etapa 2.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.8.2.1

Fatore ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ de ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Etapa 2.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Etapa 2.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Etapa 2.3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 2.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 2.3.11

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 2.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 2.3.13

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 2.3.14

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)}$

Etapa 2.3.15

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)}$

Etapa 2.3.16

Simplifique.

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Etapa 2.3.16.1

Reordene os fatores de $\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1}}$

Etapa 2.3.16.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.3.16.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}}$

Etapa 2.3.16.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 2.3.16.2.3

Reescreva o polinômio.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}}$

Etapa 2.3.16.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Etapa 2.3.16.3

Multiplique $2 x - 2$ por $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 x - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Etapa 2.3.16.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.16.4.1

Fatore $2$ de $2 x - 2$ .

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Etapa 2.3.16.4.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Etapa 2.3.16.4.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Etapa 2.3.16.4.1.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{2 (x - 1) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Etapa 2.3.16.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}}$

Etapa 2.3.16.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ e ${(x - 1)}^{2}$ .

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Etapa 2.3.16.5.1

Fatore $x - 1$ de $6 (x - 1)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{{(x - 1)}^{2}}}$

Etapa 2.3.16.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.16.5.2.1

Fatore $x - 1$ de ${(x - 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

Etapa 2.3.16.5.2.2

Cancele o fator comum.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

Etapa 2.3.16.5.2.3

Reescreva a expressão.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6}{x - 1}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$17 lim_{x \to 0} 1 \frac{x - 1}{6}$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{x - 1}{6}$ por $1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{6}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $\frac{1}{6}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$17 (\frac{1}{6}) lim_{x \to 0} x - 1$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$17 (\frac{1}{6}) (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $17$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{17}{6} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{17}{6} (0 - 1)$

Etapa 5.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{17}{6} \cdot - 1$

Etapa 5.4

Multiplique $\frac{17}{6} \cdot - 1$ .

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Etapa 5.4.1

Combine $\frac{17}{6}$ e $- 1$ .

$\frac{17 \cdot - 1}{6}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $17$ por $- 1$ .

$\frac{- 17}{6}$

Etapa 5.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{17}{6}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{17}{6}$

Forma decimal:

$- 2.8\overline{3}$