Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

Etapa 1

Avalie o limite de $\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

Etapa 2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1^{3}}{h}$

Etapa 2.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 1 + h$ e $b = 1$ .

$\frac{(1 + h - 1) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Etapa 2.1.3

Simplifique.

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Etapa 2.1.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{(h + 0) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Etapa 2.1.3.2

Some $h$ e $0$ .

$\frac{h ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Etapa 2.1.3.3

Reescreva ${(1 + h)}^{2}$ como $(1 + h) (1 + h)$ .

$\frac{h ((1 + h) (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Etapa 2.1.3.4

Expanda $(1 + h) (1 + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{h (1 (1 + h) + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Etapa 2.1.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Etapa 2.1.3.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Etapa 2.1.3.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.5.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{h (1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Etapa 2.1.3.5.1.2

Multiplique $h$ por $1$ .

$\frac{h (1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Etapa 2.1.3.5.1.3

Multiplique $h$ por $1$ .

$\frac{h (1 + h + h + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Etapa 2.1.3.5.1.4

Multiplique $h$ por $h$ .

$\frac{h (1 + h + h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Etapa 2.1.3.5.2

Some $h$ e $h$ .

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Etapa 2.1.3.6

Multiplique $1 + h$ por $1$ .

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1^{2})}{h}$

Etapa 2.1.3.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1)}{h}$

Etapa 2.1.3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{h (2 h + h^{2} + 2 + h + 1)}{h}$

Etapa 2.1.3.9

Some $2 h$ e $h$ .

$\frac{h (3 h + h^{2} + 2 + 1)}{h}$

Etapa 2.1.3.10

Some $2$ e $1$ .

$\frac{h (3 h + h^{2} + 3)}{h}$

Etapa 2.1.3.11

Reordene os termos.

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

Etapa 2.2.2

Divida $h^{2} + 3 h + 3$ por $1$ .

$h^{2} + 3 h + 3$