Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$

Etapa 1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 0} {(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1}$ como $e^{\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})}$ .

$\ln (lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})})$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$ movendo $x - 1$ para fora do logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 0} e^{(x - 1) \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o limite para o expoente.

$\ln (e^{lim_{x \to 0} (x - 1) \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Etapa 3.5

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 0} x^{4} + 8 x + 1)})$

Etapa 3.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 1)})$

Etapa 3.7

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 1)})$

Etapa 3.8

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)})$

Etapa 3.9

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1)})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Use as regras logarítmicas para mover $(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1)$ para fora do expoente.

$(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Etapa 5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(0 - 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Etapa 5.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Etapa 5.4.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 0 + 1) \ln (e)$

Etapa 5.5

Some $0$ e $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 1) \ln (e)$

Etapa 5.6

Some $0$ e $1$ .

$- 1 \cdot \ln (1) \ln (e)$

Etapa 5.7

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- 1 \cdot 0 \ln (e)$

Etapa 5.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 \ln (e)$

Etapa 5.9

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$0 \cdot 1$

Etapa 5.10

Multiplique $0$ por $1$ .

$0$