Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\tan^{2} (3 x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x)}$

Etapa 1.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Mova o expoente $2$ de $\tan^{2} (3 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} \tan (3 x))}^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{\tan^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\tan^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{\tan^{2} (0)}$

Etapa 1.1.3.3.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\tan^{2} (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (3 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Etapa 1.3.4.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (3 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Etapa 1.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Etapa 1.3.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 1.3.6

Multiplique $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1}$

Etapa 1.3.8

Multiplique $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}$

Etapa 1.3.9

Reordene os fatores de $6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Fatore $2$ de $6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 (3 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x))}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (3 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x))}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{3 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}$

Etapa 2

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Etapa 3.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (3 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Etapa 3.1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Etapa 3.1.3.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Etapa 3.1.3.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Etapa 3.1.3.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.1.3.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)}$

Etapa 3.1.3.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.8.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (0) \cdot \tan (3 \cdot 0)}$

Etapa 3.1.3.8.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1^{2} \cdot \tan (3 \cdot 0)}$

Etapa 3.1.3.8.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot \tan (3 \cdot 0)}$

Etapa 3.1.3.8.4

Multiplique $\tan (3 \cdot 0)$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

Etapa 3.1.3.8.5

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\tan (0)}$

Etapa 3.1.3.8.6

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.8.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)]}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec^{2} (3 x)$ e $g (x) = \tan (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.2

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $\sec^{2} (3 x)$ por $\sec^{2} (3 x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{{\sec (3 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [3 x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Etapa 3.3.5.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{4} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Etapa 3.3.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{4} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{4} (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Etapa 3.3.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{4} (3 x) \cdot 3 + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Etapa 3.3.9

Mova $3$ para a esquerda de $\sec^{4} (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \cdot \sec^{4} (3 x) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Etapa 3.3.10

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (3 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.10.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + \tan (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]}$

Etapa 3.3.10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + \tan (3 x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]}$

Etapa 3.3.10.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + \tan (3 x) \cdot 2 \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]}$

Etapa 3.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \cdot \tan (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]}$

Etapa 3.3.12

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.12.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.12.2

A derivada de $\sec (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan (3 x) \sec (3 x) \sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.12.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan (3 x) \sec (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.13

Eleve $\tan (3 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{1} (3 x) \tan (3 x) \sec (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.14

Eleve $\tan (3 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{1} (3 x) \tan^{1} (3 x) \sec (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 {\tan (3 x)}^{1 + 1} \sec (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.16

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) \sec (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.17

Eleve $\sec (3 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) \sec^{1} (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.18

Eleve $\sec (3 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) \sec^{1} (3 x) \sec^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.19

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) {\sec (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.20

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.21

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.22

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 6 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.23

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 6 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1}$

Etapa 3.3.24

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 6 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x)}$

Etapa 3.3.25

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 \sec^{2} (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{4} (3 x)}$

Etapa 4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{4} (3 x)}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{4} (3 x)}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (3 x) \tan^{2} (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Etapa 4.4

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \tan^{2} (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Etapa 4.5

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Etapa 4.6

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (3 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Etapa 4.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Etapa 4.8

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Etapa 4.9

Mova o expoente $2$ de $\tan^{2} (3 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \tan (3 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Etapa 4.10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Etapa 4.11

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Etapa 4.12

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \sec^{4} (3 x)}$

Etapa 4.13

Mova o expoente $4$ de $\sec^{4} (3 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x) + 3 {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{4}}$

Etapa 4.14

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \sec^{4} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Etapa 4.15

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \sec^{4} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \sec^{4} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (3 \cdot 0) + 3 \sec^{4} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (3 \cdot 0) + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (3 \cdot 0) + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.1.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \cdot 1^{2} \cdot \tan^{2} (3 \cdot 0) + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \cdot 1 \cdot \tan^{2} (3 \cdot 0) + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.1.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \cdot \tan^{2} (3 \cdot 0) + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.1.5

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \cdot \tan^{2} (0) + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.1.6

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \cdot 0^{2} + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \cdot 0 + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.1.8

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.1.9

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 3 \sec^{4} (0)}$

Etapa 6.1.10

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 3 \cdot 1^{4}}$

Etapa 6.1.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 3 \cdot 1}$

Etapa 6.1.12

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 3}$

Etapa 6.1.13

Some $0$ e $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{9}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{9}$

Forma decimal:

$0.\overline{1}$