Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x \sin (2 x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Etapa 1.1.3.5.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.5.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x \sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.5

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1}$

Etapa 1.3.13

Multiplique $\sin (2 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)}$

Etapa 1.3.14

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \cos (2 x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cos (2 x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.3.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.3.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 2.1.3.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 2.1.3.7

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.8

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \cos (2 \cdot 0) + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \cos (2 \cdot 0) + \sin (2 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.9.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (2 \cdot 0) + \sin (2 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.9.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (2 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.9.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (2 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.9.1.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{0}{0 + \sin (2 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.9.1.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

Etapa 2.1.3.9.1.6

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 2.1.3.9.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.9.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.10

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 \frac{d}{d x} [x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.3.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- \sin (2 x) \cdot 2) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.4.9

Multiplique $\cos (2 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 2.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.5.1.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.5.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.5.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 2.3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Etapa 2.3.5.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (2 x) \cdot 2}$

Etapa 2.3.5.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + 2 \cos (2 x)}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x))) + 2 \cos (2 x) + 2 \cos (2 x)}$

Etapa 2.3.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{- 4 (x (\sin (2 x))) + 2 \cos (2 x) + 2 \cos (2 x)}$

Etapa 2.3.6.2.2

Some $2 \cos (2 x)$ e $2 \cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{- 4 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}$

Etapa 3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}$

Etapa 3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 4 x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}$

Etapa 3.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}$

Etapa 3.5

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}$

Etapa 3.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}$

Etapa 3.7

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}$

Etapa 3.8

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 3.9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 3.10

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (0)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot 0 + 4 \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5.2.4

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{1}{0 + 4 \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 5.2.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{0 + 4 \cos (0)}$

Etapa 5.2.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{0 + 4 \cdot 1}$

Etapa 5.2.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{0 + 4}$

Etapa 5.2.8

Some $0$ e $4$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$