Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)}{x \sin (3 x)}$

Etapa 1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)}{x \sin (3 x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$- \frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{\sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{\sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.7.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{\sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.7.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.7.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.7.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.7.5

Multiplique $0$ por $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Etapa 2.1.3.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.5.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Etapa 2.1.3.5.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.5.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$- \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.5.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)}{x \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$- lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (2 x)$ e $g (x) = \sin (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.3.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.7

Mova $4$ para a esquerda de $\sin (2 x) \cos (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.8.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.11

Multiplique $2$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.12

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (4 x) \cos (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + 2 \cdot \sin (4 x) \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.13

Reordene os termos.

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.14

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.15

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.3.15.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.15.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.15.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.16

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.17

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.18

Multiplique $3$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.19

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cdot 3 \cdot \cos (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.20

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cdot 3 \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot 1}$

Etapa 2.3.21

Multiplique $\sin (3 x)$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cdot 3 \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 2.3.22

Reordene os termos.

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$- \frac{lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{4 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{4 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- \frac{4 \cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.7

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.11

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.12

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.13

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.14

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.14.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.14.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.14.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.14.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.15.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$- \frac{4 \cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{4 \cdot 1 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15.1.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$- \frac{4 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15.1.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{4 \cdot \sin (0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15.1.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{4 \cdot 0 + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15.1.6

Multiplique $4$ por $0$ .

$- \frac{0 + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15.1.7

Reordene $2 \cos (2 \cdot 0)$ e $\sin (4 \cdot 0)$ .

$- \frac{0 + \sin (4 \cdot 0) \cdot 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15.1.8

Reordene $\sin (4 \cdot 0)$ e $2$ .

$- \frac{0 + 2 \cdot \sin (4 \cdot 0) \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15.1.9

Fatore $4$ de $2 \cdot 0$ .

$- \frac{0 + 2 \cdot \sin (4 \cdot 0) \cos (4 \cdot 2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15.1.10

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{0 + 2 \cdot \sin (4 \cdot 0) \cos (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15.1.11

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$- \frac{0 + \sin (2 \cdot 4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15.1.12

Multiplique $2 (4 \cdot 0)$ .

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Etapa 3.1.2.15.1.12.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$- \frac{0 + \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15.1.12.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15.1.13

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.2.15.2

Some $0$ e $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.3.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.3.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Etapa 3.1.3.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Etapa 3.1.3.7

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.1.3.8

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.1.3.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.1.3.8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Etapa 3.1.3.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.9.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Etapa 3.1.3.9.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Etapa 3.1.3.9.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (3 \cdot 0)}$

Etapa 3.1.3.9.1.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$- \frac{0}{0 + \sin (3 \cdot 0)}$

Etapa 3.1.3.9.1.5

Multiplique $3$ por $0$ .

$- \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Etapa 3.1.3.9.1.6

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{0}{0 + 0}$

Etapa 3.1.3.9.2

Some $0$ e $0$ .

$- \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.9.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.10

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$- lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x)]$ .

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Etapa 3.3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \cos (4 x) \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (2 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (4 x)$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.3.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.3.3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.6.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.7

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.10

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cdot 2 \cdot \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cdot \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.12

Multiplique $4$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.3.13

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (2 x) \sin (4 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (4 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (2 x)$ e $g (x) = \sin (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.3.2

A derivada de $\sin (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\cos (u_{3})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.3.4.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{4}$ como $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.6.2

A derivada de $\cos (u_{4})$ em relação a $u_{4}$ é $- \sin (u_{4})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{4}$ por $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.9

Multiplique $4$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.10

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cdot 4 \cdot \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.11

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (4 \cdot \cos (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.12

Multiplique $2$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (4 \cos (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.4.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (4 \cos (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot 2 \cos (4 x) \cos (2 x) + 4 \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x) + 2 (4 \cos (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot 2 \cos (4 x) \cos (2 x) + 4 \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x) + 2 \cdot 4 \cos (2 x) \cos (4 x) + 2 \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.5.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.3.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \cos (2 x) + 4 \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x) + 2 \cdot 4 \cos (2 x) \cos (4 x) + 2 \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.5.3.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \cos (2 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) + 2 \cdot 4 \cos (2 x) \cos (4 x) + 2 \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.5.3.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \cos (2 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) + 8 \cos (2 x) \cos (4 x) + 2 \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.5.3.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \cos (2 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) + 8 \cos (2 x) \cos (4 x) - 4 \sin (4 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.5.3.5

Reordene os fatores de $8 \cos (4 x) \cos (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (2 x) \cos (4 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) + 8 \cos (2 x) \cos (4 x) - 4 \sin (4 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.5.3.6

Some $8 \cos (2 x) \cos (4 x)$ e $8 \cos (2 x) \cos (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) - 4 \sin (4 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.5.3.7

Reordene os fatores de $- 4 \sin (4 x) \sin (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) - 4 \sin (2 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.5.3.8

Subtraia $4 \sin (2 x) \sin (4 x)$ de $- 16 \sin (2 x) \sin (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

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Etapa 3.3.7.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x \cos (3 x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.7.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.7.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.3.7.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.7.3.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.7.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.7.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.7.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.7.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.7.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.7.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.7.9

Multiplique $\cos (3 x)$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Etapa 3.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Etapa 3.3.8.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.3.8.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.8.1.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.8.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.3.8.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1}$

Etapa 3.3.8.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3}$

Etapa 3.3.8.5

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + 3 \cos (3 x)}$

Etapa 3.3.9

Simplifique.

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Etapa 3.3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 x \cdot - 3 \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

Etapa 3.3.9.2

Combine os termos.

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Etapa 3.3.9.2.1

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

Etapa 3.3.9.2.2

Some $3 \cos (3 x)$ e $3 \cos (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0} 16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0} 16 \cos (2 x) \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.3

Mova o termo $16$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{16 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{16 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- \frac{16 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.8

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.9

Mova o termo $20$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 lim_{x \to 0} \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.10

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.11

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.12

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.13

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.14

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.15

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 9 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.16

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.17

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.18

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.19

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Etapa 4.20

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Etapa 4.21

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Etapa 4.22

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.7

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$ e $- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $2$ de $16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0)$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0)) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.1.2

Fatore $2$ de $- 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0)) + 2 (- 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.1.3

Fatore $2$ de $2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0)) + 2 (- 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.1.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.4.1

Fatore $2$ de $- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.1.4.2

Fatore $2$ de $6 \cos (3 \cdot 0)$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)) + 2 (3 \cos (3 \cdot 0))}$

Etapa 6.1.4.3

Fatore $2$ de $2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)) + 2 (3 \cos (3 \cdot 0))$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0))}$

Etapa 6.1.4.4

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0))}$

Etapa 6.1.4.5

Reescreva a expressão.

$- \frac{8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{8 \cdot 1 \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$- \frac{8 \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$- \frac{8 \cdot \cos (0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{8 \cdot 1 - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.6

Multiplique $8$ por $1$ .

$- \frac{8 - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.7

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{8 - 10 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.8

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{8 - 10 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.9

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$- \frac{8 + 0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.10

Multiplique $4$ por $0$ .

$- \frac{8 + 0 \cdot \sin (0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.11

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{8 + 0 \cdot 0}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.12

Multiplique $0$ por $0$ .

$- \frac{8 + 0}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.2.13

Some $8$ e $0$ .

$- \frac{8}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$- \frac{8}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$- \frac{8}{0 \cdot \sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{8}{0 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.3.4

Multiplique $0$ por $0$ .

$- \frac{8}{0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Etapa 6.3.5

Multiplique $3$ por $0$ .

$- \frac{8}{0 + 3 \cos (0)}$

Etapa 6.3.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{8}{0 + 3 \cdot 1}$

Etapa 6.3.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$- \frac{8}{0 + 3}$

Etapa 6.3.8

Some $0$ e $3$ .

$- \frac{8}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{8}{3}$

Forma decimal:

$- 2.\overline{6}$